Prove que entre duas raízes consecutivas de uma função polinomial f existe pelo menos uma raiz de f ´ .

Passo 1

Pra começar vamos entender o que foi pedido:

O que é uma raiz? Bem, a raiz de uma função são os pontos em que f = 0 , ou seja, ela passa pelo eixo x .

Nesse caso pra que ela saia do eixo x e volte pro eixo x tem que haver uum crescimento da função e depois decrescimento, ou vice-versa.

O que descreve esse decrescimento?

A derivada!

Isso!

A derivada descreve se uma função cresce ou decresce, sendo assim, depois que ela passa pelo eixo x , nós podemos dizer que ela cresceu e que em algum ponto ela volta a decrescer para tornar a passar pelo eixo x , já que a questão diz “duas raízes consecutivas”.

Em algum momento ele terá um máximo (ou mínimo, dependendo da sua análise), e nesse ponto a derivada é 0.

Passo 2

Podemos provar, então, usando o teorema de role que para:

f   contínua entre a , b , derivável em ] a , b [ , existe f a = f b = 0 (tais que a   e   b são raízes consecutivas da equação), então existe um c nesse intervalo tal que f ´ c = 0 (que será o nosso ponto máximo)

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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