Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 15.1 - Ex. 1
Prove que entre duas raízes consecutivas de uma função polinomial existe pelo menos uma raiz de .
Passo 1
Pra começar vamos entender o que foi pedido:
O que é uma raiz? Bem, a raiz de uma função são os pontos em que , ou seja, ela passa pelo eixo .
Nesse caso pra que ela saia do eixo e volte pro eixo tem que haver uum crescimento da função e depois decrescimento, ou vice-versa.
O que descreve esse decrescimento?
A derivada!
Isso!
A derivada descreve se uma função cresce ou decresce, sendo assim, depois que ela passa pelo eixo , nós podemos dizer que ela cresceu e que em algum ponto ela volta a decrescer para tornar a passar pelo eixo , já que a questão diz “duas raízes consecutivas”.
Em algum momento ele terá um máximo (ou mínimo, dependendo da sua análise), e nesse ponto a derivada é 0.
Passo 2
Podemos provar, então, usando o teorema de role que para:
contínua entre , derivável em , existe (tais que são raízes consecutivas da equação), então existe um nesse intervalo tal que (que será o nosso ponto máximo)
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)