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Enunciado

Cálculo Numérico - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.10 - Ex. 49

Suponha que f seja uma função continua no intervalo fechado a , b . Sejam T e S os valores aproximados de ∫ a b f x d x pelas regras do trapézio e de Simpson, respectivamente, usando para ambas a mesma partição do intervalo a , b . Mostre que

S = 2 3 T + Δ x f x 1 + f x 3 + f x 5 + … + f x n - 1

Passo 1

Vamos começar lembrando o que cada regra fala sobre a integral.

Uma coisa que ambas tem em comum é a partição, que é o pedacinho dos intervalos.

Ele disse que vai ser igual para os dois. Entao vamos usar um monte de x i , que é o mesmo valor para as duas fórmulas blz?

Primeiro a regra do trapézio:

T = ∫ a b f x d x = b - a 2 n f x 0 + 2 f x 1 + 2 f x 2 + … + 2 f x n - 1 + f x n

Agora a regra de Simpson:

S = ∫ a b f x d x = b - a 3 n f x 0 + 4 f x 1 + 2 f x 2 + 4 f x 3 + … + 2 f x n - 2 + 4 f x n - 1 + f x n

Ambas com n par.

Beleza, temos as duas fórmulas.

A primeira coisa que temos que fazer é tentar isolar aquela soma gigante em cada uma delas, porque isso é o que elas tem em comum:

T = b - a 2 n f x 0 + 2 f x 1 + 2 f x 2 + … + 2 f x n - 1 + f x n

2 n T b - a = f x 0 + 2 f x 1 + 2 f x 2 + … + 2 f x n - 1 + f x n

E

S = b - a 3 n f x 0 + 4 f x 1 + 2 f x 2 + 4 f x 3 + … + 2 f x n - 2 + 4 f x n - 1 + f x n

3 n S b - a = f x 0 + 4 f x 1 + 2 f x 2 + 4 f x 3 + … + 2 f x n - 2 + 4 f x n - 1 + f x n

Passo 2

Vamos analisar essas duas fórmulas agora:

2 n T b - a = f x 0 + 2 f x 1 + 2 f x 2 + … + 2 f x n - 1 + f x n

3 n S b - a = f x 0 + 4 f x 1 + 2 f x 2 + 4 f x 3 + … + 2 f x n - 2 + 4 f x n - 1 + f x n

Se subtrairmos a segunda da primeira, os termos pares vão se anular, e os ímpares vão ficar todos multiplicados por 2 .

Assim, vamos ter:

3 n S b - a - 2 n T b - a = 2 f x 1 + 2 f x 3 + 2 f x 5 + … + 2 f x n - 1

O que ele pede tem o tal do Δ x , mas:

Δ x = b - a n

Substituindo isso na equação que achamos:

3 S Δ x - 2 T Δ x = 2 f x 1 + 2 f x 3 + 2 f x 5 + … + 2 f x n - 1

Jogando o Δ x para a direita:

3 S - 2 T = Δ x 2 f x 1 + 2 f x 3 + 2 f x 5 + … + 2 f x n - 1

Isolando o S

3 S = 2 T + Δ x 2 f x 1 + 2 f x 3 + 2 f x 5 + … + 2 f x n - 1

Colocando o 2 em evidência do lado direito:

3 S = 2 T + Δ x f x 1 + f x 3 + f x 5 + … + f x n - 1

S = 2 3 T + Δ x f x 1 + f x 3 + f x 5 + … + f x n - 1

Que é a fórmula que ele queria mostra

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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