Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo Numérico - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.10 - Ex. 43

Ache a área da região limitada pelo laço da cura cuja equação é y 2 = 8 x 2 - x 5 . Calcule a integral definida pelas regras de Simpson com n = 8 e expresse o resultado com três casas decimais.

Passo 1

Ele deu a equação da curva, que vai ser:

y 2 = 8 x 2 - x 5

O Laço vai começar e terminar no mesmo ponto. Mas que ponto vai ser esse? Repara que se fatorarmos a expressão de x , vamos ter:

y 2 = x 2 8 - x 3

E se isolarmos o y vamos encontrar duas curvas

y = x 2 8 - x 3

E

y = - x 2 8 - x 3

A positiva vai ser a parte de cima enquanto a negativa a parte de baixo. Isso vai nos dizer as fronteiras do laço.

Então vamos achar os pontos que elas se encontram, para entender como vai ser nossa integral:

x 2 8 - x 3 = - x 2 8 - x 3

x 2 8 - x 3 + x 2 8 - x 3 = 0

2 x 2 8 - x 3 = 0

Elevando ao quadrado

4 x 2 8 - x 3 = 0

Vamos ter:

x 2 = 0       o u         8 - x 3 = 0

x = 0             o u           x = 2

Esses são os dois pontos que as curvas se encontram. Isso nos diz que para pegarmos a área devemos pegar:

A = ∫ 0 2 x 2 8 - x 3

Passo 2

Ele pede para acharmos essa integral pela regra de Simpson com n = 8 .

A regra de Simpson é:

∫ a b f x d x = b - a 3 n f x 0 + 4 f x 1 + 2 f x 2 + 4 f x 3 + … + 2 f x n - 2 + 4 f x n - 1 + f x n

Vamos colocar os nossos dados, primeiro que a e b são 0 e 2 , respectivamente. E n = 8 , além da nossa f x

∫ 0 2 x 2 8 - x 3 = 2 - 0 3.8 f x 0 + 4 f x 1 + 2 f x 2 + 4 f x 3 + 2 f x 4 + 4 f x 5 + 2 f x 6 + 4 f x 7 + f x 8

∫ 0 2 x 2 8 - x 3 = 1 12 f x 0 + 4 f x 1 + 2 f x 2 + 4 f x 3 + 2 f x 4 + 4 f x 5 + 2 f x 6 + 4 f x 7 + f x 8

Falta acharmos só os x e seus valores na função.

Temos que

x i = Δ x + x i - 1

Então devemos achar Δ x

Δ x = b - a n = 2 - 0 8 = 1 4

Logo, como x 0 = 0

x 1 = 1 4

x 2 = 2 4 = 1 2

x 3 = 3 4

x 4 = 4 4 1

x 5 = 5 4

x 6 = 6 4 = 3 2

x 7 = 7 4

x 8 = 8 4 = 2

Passo 3

Vamos calcular f x para todos esses pontos, vamos usar uma calculadora tamém porque ele pediu uma aproximação:

x 0 = 0 → f x 0 = 0 2 8 - 0 3 = 0

x 1 = 1 4 → f x 1 = 1 4 2 8 - 1 4 3 = 0,1766

x 2 = 1 2 → f x 2 = 1 2 2 8 - 1 2 3 = 0,7015

x 3 = 3 4 → f x 3 = 3 4 2 8 - 3 4 3 = 1,5484

x 4 = 1 → f x 4 = 1 2 8 - 1 3 = 2,6457

x 5 = 5 4 → f x 5 = 5 4 2 8 - 5 4 3 = 3,8422

x 6 = 3 2 → f 6 = 3 2 2 8 - 3 2 3 = 4,8388

x 7 = 7 4 → f x 7 = 7 4 2 8 - 7 4 3 = 4,9765

x 8 = 2 → f x 8 = 1 4 2 8 - 1 4 3 = 0

Passo 4

Pegando esses valores que achamos, vamos jogar na fórmula:

∫ 0 2 x 2 8 - x 3 = 1 12 f x 0 + 4 f x 1 + 2 f x 2 + 4 f x 3 + 2 f x 4 + 4 f x 5 + 2 f x 6 + 4 f x 7 + f x 8

Vamos encontrar:

∫ 0 2 x 2 8 - x 3 = 4,879

Resposta

4,879

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos exercícios 99 e 100, ache um valor aproximado para a integral, usando a regra de Simpson com n = 4 . Expresse o resultado com até três casas decimais.99. ∫ 0 2 1 + x 2d x
94. Um automóvel rodando a uma velocidade constante de 80 Km/h por uma estrada reta não obedece um sinal de parada. Se 3s mais tarde o carro da polícia rodoviária estacionado no sinal de parada parte
95. Suponha que num dado dia, numa certa cidade, a temperatura fahrenheit seja f t grus , t horas depois da meia – noite e f t = 60 - 15 s e n 1 12 π 8 - t0 ≤ t ≤ 24 . (a) Faça um esboço do gráfico de
108. Dada F x = ∫ x 2 x 1 t d tex0 . Prove que F é uma função constante , mostrando que F´(x) = 0. (Sugestão: use o primeiro teorema funtamental do cálculo após escrever a integral dada como a diferen
Nos exercícios 99 e 100, ache um valor aproximado para a integral, usando a regra de Simpson com n = 4 . Expresse o resultado com até três casas decimais.100. ∫ 1 9 5 1 + x 3d x