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Enunciado

Cálculo Numérico - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.10 - Ex. 18

No exercício abaixo, ache um intervalo em que se situa o erro de truncamento na aproximação do exercício 8, em que a integral é dada por:

∫ 2 3   1 + x 2   ; n=6

Passo 1

Bom a primeira coisa que temos que saber é qual a fórmula usada para responder essas questões de erro de truncamento usando regra do trapézio.

a formula usada para o erro de truncamento pela regra do trapézio é:

∈   =   - 1 12 b - a f ´ ´ η * ∆ x 2

Calma, calma... eu sei a fórmula parece feia, mas ela é bem simples até, vamos analisar com calma:

b = l i m i t e   s u p e r i o r   d a   i n t e g r a l

a = l i m i t e   i n f e r i o r   d a   i n t e g r a l

f ´ ´ η = s e g u n d a   d e r i v a d a   a p l i c a d a   n o   p o n t o   η

∆ x = b - a n

Em que n é o número de divisões dada na questão...

Ufaaaa... agora vamos aplicar tudo isso

Passo 2

Vamos encontrar o valor de ∆ x :

∆ x = b - a n = 3 - 2 6 = 1 6

Passo 3

Agora vamos encontrar as derivadas da função dada:

f x = 1 + x 2 = 1 + x 2 1 2

f ´ x = 1 2 * 1 + x 2 - 1 2 * 2 x

f ´ x = x * 1 + x 2 - 1 2

f ´ ´   x = x ´ * 1 + x 2 - 1 2 + x * 1 + x 2 - 1 2 ´  

f ´ ´   x = 1 + x 2 - 1 2 - x 2 * 1 + x 2 - 3 2

Bom é o seguinte, o mais difícil dessa questão é essa derivada que acabamos de fazer. Seria legal se você teve um pouco de dúvida dar uma olhada no curso de cálculo, pois isso é de extrema importância. Uma dica: foram usados a regra da cadeia e a regra do produto de derivadas.

Passo 4

O nosso intervalo é [ a ,   b ] , que seria então [ 2 ,   3 ] . Então vamos a aplicar nossa derivada de segunda nesses pontos.

f ´ ´   2 = 1 + 2 2 - 1 2 - 2 2 * 1 + 2 2 - 3 2

f ´ ´ 2 = 0,089

f ´ ´   3 = 1 + 3 2 - 1 2 - 3 2 * 1 + 3 2 - 3 2

f ´ ´ 3 = 0,032

Passo 5

Agora vamos jogar na nossa fórmula os valores encontrados no passo 3 e pronto estará tudo acabado:

∈ 1   =   - 1 12 b - a f ´ ´ 2 * ∆ x 2

∈ 1   =   - 1 12 3 - 2 * 0,089 * 1 6 2

∈ 1   ≅ - 2,06 * 10 - 4

∈ 2   =   - 1 12 b - a f ´ ´ 3 * ∆ x 2

∈ 2   =   - 1 12 3 - 2 * 0,032 * 1 6 2

∈ 2   ≅ - 7,40 * 10 - 5

Logo nosso intervalo será entre esses valores, ou seja:

- 2,06 * 10 - 4 ≤     ∈     ≤ - 7,40 * 10 - 5

Chegamos ao fim.“Nunca é um adeus.”

Resposta

- 2,06 * 10 - 4 ≤     ∈     ≤ - 7,40 * 10 - 5

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