Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.6 - Ex. 49
Suponha que seja uma função para o qual existe para todos os valores de num intervalo aberto e que para um número em , e existe e não é zero. Prove que o ponto é um ponto de inflexão do gráfico.
Passo 1
Vamos relembrar o que é o ponto de inflexão. Ponto de inflexão é aquele que a segunda derivada muda de sinal nele. Ou seja, é ponto de inflexão se:
Ou
Beleza, agora vamso analisar o que ele disse.
Passo 2
Primeiro, temos que lembrar a definição de terceira segunda. Que vai ser
Ele falou que essa derivada existe, mas não deu o sinal dela.
Então vamos analisar os dois casos. Quando ela for negativa e quando ela for positiva.
Primeiro, se ela for positiva:
Passo 3
Tem um teorema que diz que: Se o limite é positivo, então podemos existe um intervalo, que tem , onde a expressão dentro do limite também é positiva.
Vamos pegar esse intervalo e chamar de . Então, em temos
Temos que mostrar que a derivada segunda muda de sinal em
Vamos pegar a parte daquele intervalo de valores menores que . De forma matemática é falar isso aqui
Então vamos ter que
Se multiplicamos a expressão do passo anterior por , temos que mudar o sinal da desigualdade, assim vamos ter
Podemos simplificar , ficando com
Então
Mas ele disse que , então:
Então:
Ufa, temos metade do caminho.
Passo 4
Agora pegar a parte daquele intervalo de valores maiores que . De forma matemática é falar isso aqui
Então vamos ter que
Se multiplicamos a expressão do passo anterior por , vamos ter:
Podemos simplificar , ficando com
Então
Mas ele disse que , então:
Então:
Isso nos diz que é ponto de inflexão.
Passo 5
agora, se ela for negativa:
Tem um teorema que diz que: Se o limite é negativo, então podemos existe um intervalo, que tem , onde a expressão dentro do limite também é negativa.
Vamos pegar esse intervalo e chamar de . Então, em temos
Vamos pegar a parte daquele intervalo de valores menores que . De forma matemática é falar isso aqui
Então vamos ter que
Se multiplicamos a expressão do passo anterior por , temos que mudar o sinal da desigualdade, assim vamos ter
Podemos simplificar , ficando com
Então
Mas ele disse que , então:
Então:
Ufa, temos metade do caminho.
Passo 6
Agora pegar a parte daquele intervalo de valores maiores que . De forma matemática é falar isso aqui
Então vamos ter que
Se multiplicamos a expressão do passo anterior por , vamos ter:
Podemos simplificar , ficando com
Então
Mas ele disse que , então:
Então:
Isso nos diz que é ponto de inflexão.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)