A janela de uma igreja consiste em um retângulo com semicírculo em cima e deve ter um perímetro . Encontre o raio do semicírculo para que a área da janela seja máxima.

Precisamos, antes de seguir, escrever o comprimento do semicírculo em função de seu raio, .

Sabemos a expressão pro comprimento do círculo inteiro, , que é dada por:

Assim, temos pro comprimento do semicírculo a seguinte expressão em função do raio :

Repara também que o raio vale metade do lado . Podemos reescrever a expressão pra da seguinte forma:

Agora, reescrevemos a expressão do perímetro :

Agora, precisamos escrever uma expressão pra área da janela. Temos o somatório da área do retângulo com a área do semicírculo. Escrevemos:

Vamos escrever o raio em função de , como já fizemos no passo anterior e teremos a expressão pra área em função de e apenas:

Por fim, vamos escrever em função de pra termos uma função , escrita apenas em função de . Fazemos isso pela expressão do perímetro . Temos que:

Assim:

Substituímos essa sentença na expressão de e vamos ter:

Com uma função em uma só variável, podemos fazer a otimização. Queremos a maior área possível. Assim, vamos derivar a função, igualar a zero e determinar o(s) ponto(s) crítico(s). Teremos:

Igualamos a zero:

Pomos em evidência:

Assim, esse é o valor pra que vai nos fornecer a maior área possível pra janela. Mas o exercício nos pede o valor do raio do semicírculo.

Temos a correlação entre esse raio e , que é:

Então, o valor do raio vai ser: