Suponha que f seja uma função par, g seja uma função ímpar e tanto f como g sejam definidas na reta real ℝ. Quais das seguintes funções (quando definidas) são pares? E ímpares?

i) g ∘ g

Passo 1

Pessoal, existem duas informações meeega importantes que precisamos relembrar para resolvermos essa questão, ok? A primeira delas é que:

Uma função y = f ( x ) é uma função par se f - x = f ( x ) .

Uma função y = f ( x ) é uma função ímpar se f   - x = - f ( x ) .

Ressaltando também que as relações acima só são válidas para valores de x pertencentes ao domínio, tudo bem?

A segunda informação é acerca das funções compostas. Sim, o que temos ali em cima é uma função composta! Quando dizemos que a função g é composta de g , como é o nosso caso, estamos dizendo que a imagem de g vira o domínio da própria g . Descrevendo matematicamente isso, teremos o seguinte:

g ∘ g = g ( g x )

Sabendo disso, já podemos resolver a questão. Parece confuso, mas é tranquilo, garanto! Let’s go!

Passo 2

g g x = g g - x

Utilizando as informações que discutimos, teremos o seguinte:

g g - x = g ( - g x )

g - g x =   - g ( g x )

∴ g ∘ g = - g ( g x )  

Que é uma função ímpar!

Resposta

A função   g ∘ g é ímpar.

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