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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.5 - Ex. 17

Ache o valor exato da integral definida usando a relação entre soma de Riemann e integral definida.

∫ - 2 2 ( x 3 + 1 )   d x

Passo 1

A relação entre integral definida e soma de Riemann pedida pelo problema é a seguinte:

∫ a b f x d x = lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f ξ i Δ x

Chamaremos de “equação (1)” para invoca-la no futuro. 😉

Temos uma integral definida, ou seja, uma integral em que conhecemos os limites de integração a e b . Iremos então realizar nossos cálculos dentro desses limites, no intervalo [ - 2 , 2 ] .

Considerando n subintervalos, então:

Δ x = b - a n = 2 - ( - 2 ) n = 4 n

Passo 2

Se escolhermos ξ i como o extremo direito de cada subintervalo, teremos:

ξ i = a + i Δ x

Então:

ξ 1 = - 2 + 4 n ,   ξ 2 = - 2 + 2 4 n ,   ξ 3 = - 2 + 3 4 n , … ,   ξ i = - 2 + i 4 n , … , ξ n = - 2 + n 4 n

Como f x = ( x 3 + 1 ) ,

f ξ i = - 2 + 4 i n 3 + 1   = - 7 + 48 i n - 96 i 2 n 2 + 64 i 3 n 3

Passo 3

Logo, usando a equação (1) e aplicando as propriedades de somatório, teremos:

∫ - 2 2 ( x 3 + 1 )   d x = lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n - 7 + 48 i n - 96 i 2 n 2 + 64 i 3 n 3 4 n

= lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n - 28 n + 192 i n 2 - 384 i 2 n 3 + 256 i 3 n 4

= l i m n → + ∞ - ∑ i = 1 n 28 n + ∑ i = 1 n 192 i n 2 - ∑ i = 1 n 384 i 2 n 3 + ∑ i = 1 n 256 i 3 n 4

Como n é uma constante, pode sair do somatório multiplicando.

= l i m n → + ∞ - 28 n ∑ i = 1 n 1 + 192 n 2 ∑ i = 1 n i   - 384 n 3 ∑ i = 1 n i 2 + 256 n 4 ∑ i = 1 n i 3  

Lembrando que:

∑ i = 1 n i 3 = n 2 n + 1 2 4

∑ i = 1 n i 2 = n n + 1 2 n + 1 6

∑ i = 1 n i = n ( n + 1 ) 2

Teremos:

= l i m n → + ∞ - 28 n n + 192 n 2 n n + 1 2 - 384 n 3   n n + 1 2 n + 1 6 + 256 n 4 n 2 n + 1 2 4

Expandindo a equação:

= lim n → + ∞ ⁡ - 28 + 96 + 96 n - 128 + 192 n + 64 n 2 + 64 + 128 n + 64 n 2

= l i m n → + ∞ 4 + 32 n

Aplicando o limite:

= lim n → + ∞ ⁡ 4 + 0  

Resposta

Dessa maneira, o valor da integral definida é:

∫ - 2 2 ( x 3 + 1 )   d x = 4

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