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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.5 - Ex. 13

Ache o valor exato da integral definida usando a relação entre soma de Riemann e integral definida.

∫ 1 2 x 3   d x

Passo 1

A relação entre integral definida e soma de Riemann pedida pelo problema é a seguinte:

∫ a b f x d x = lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f ξ i Δ x

Chamaremos de “equação (1)” para invoca-la no futuro. 😉

Temos uma integral definida, ou seja, uma integral em que conhecemos os limites de integração a e b . Iremos então realizar nossos cálculos dentro desses limites, no intervalo [ 1,2 ] .

Considerando n subintervalos, então:

Δ x = b - a n = 2 - 1 n = 1 n

Passo 2

Se escolhermos ξ i como o extremo direito de cada subintervalo, teremos:

ξ i = a + i Δ x

Então:

ξ 1 = 1 + 1 n ,   ξ 2 = 1 + 2 1 n ,   ξ 3 = 1 + 3 1 n , … ,   ξ i = 1 + i 1 n , … , ξ n = 1 + n 1 n

Como f x = x 3 ,

f ξ i = 1 + i n 3 = 1 + 3 i n + 3 i 2 n 2 + i 3 n 3

Passo 3

Logo, usando a equação (1) e aplicando as propriedades de somatório, teremos:

∫ 1 2 x 3   d x = lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 1 + 3 i n + 3 i 2 n 2 + i 3 n 3 1 n

= lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 1 n + 3 i n 2 + 3 i 2 n 3 + i 3 n 4

= l i m n → + ∞ ∑ i = 1 n 1 n + ∑ i = 1 n 3 i n 2 + ∑ i = 1 n 3 i 2 n 3   + ∑ i = 1 n i 3 n 4  

Como n é uma constante, pode sair do somatório multiplicando.

= l i m n → + ∞ 1 n ∑ i = 1 n 1 + 3 n 2 ∑ i = 1 n i + 3 n 3 ∑ i = 1 n i 2 + 1 n 4 ∑ i = 1 n i 3  

Lembrando que:

∑ i = 1 n i 3 = n 2 n + 1 2 4

∑ i = 1 n i 2 = n n + 1 2 n + 1 6

∑ i = 1 n i = n ( n + 1 ) 2

Teremos:

= l i m n → + ∞ 1 n n + 3 n 2 n ( n + 1 ) 2 + 3 n 3 n n + 1 2 n + 1 6 + 1 n 4 n 2 n + 1 2 4  

Expandindo a equação:

= lim n → + ∞ ⁡ 1 + 3 2 + 3 2 n + 1 + 3 2 n + 1 2 n 2 + 1 4 + 1 2 n + 1 4 n 2

= l i m n → + ∞ 15 4 + 7 2 n + 3 4 n 2

Aplicando o limite:

= lim n → + ∞ ⁡ 15 4 + 0 + 0  

Resposta

Dessa maneira, o valor da integral definida é:

∫ 1 2 x 3   d x = 3,75

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