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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.5 - Ex. 44

Calcule as integrais nos Exercícios 17-66.

int x sqrt(4 - x) d x

Passo 1

A primeira coisa que vamos fazer nesse exercício é uma substituição de variável para tentarmos nos livrar dessa raiz problemática:

u = 4 - x

Derivando dos dois lados:

d u = 0 - d x = - d x

Substituindo na integral:

int x sqrt(4 - x) d x = - int x sqrt(u) d u

Conseguimos substituir o termo (4 - x) e d x , mas falta substituir o termo x , para isso:

u = 4 - x -> x = 4 - u

Passo 2

Substituindo na integral:

- int x sqrt(u) d u = - int (4 - u) u^(1 // 2) d u

Fazendo o chuveirinho:

- int (4 u^((1)/(2)) - u^((3)/(2))) d u

Aí é só resolver a integral:

- int (4 u^((1)/(2)) - u^((3)/(2))) d u = - ((4 u^((1)/(2) + 1))/((1)/(2) + 1) - (u^((3)/(2) + 1))/((3)/(2) + 1)) = - (8)/(3) u^((3)/(2)) + (2)/(5) u^((5)/(2))

Agora temos que fazer a subtituição ao contrário para resolvermos o exercício:

- (8)/(3) u^((3)/(2)) + (2)/(5) u^((5)/(2)) = - (8)/(3) (4 - x)^((3)/(2)) + (2)/(5) (4 - x)^((5)/(2)) + C

Fim!!!

Resposta

- (8)/(3) (4 - x)^((3)/(2)) + (2)/(5) (4 - x)^((5)/(2)) + C

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