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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.5 - Ex. 18

Ache o valor exato da integral definida usando a relação entre soma de Riemann e integral definida.

∫ - 2 1 ( x 4 )   d x

Passo 1

A relação entre integral definida e soma de Riemann pedida pelo problema é a seguinte:

∫ a b f x d x = lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f ξ i Δ x

Chamaremos de “equação (1)” para invoca-la no futuro. 😉

Temos uma integral definida, ou seja, uma integral em que conhecemos os limites de integração a e b . Iremos então realizar nossos cálculos dentro desses limites, no intervalo [ - 2 , 1 ] .

Considerando n subintervalos, então:

Δ x = b - a n = 1 - ( - 2 ) n = 3 n

Passo 2

Se escolhermos ξ i como o extremo direito de cada subintervalo, teremos:

ξ i = a + i Δ x

Então:

ξ 1 = - 2 + 3 n ,   ξ 2 = - 2 + 2 3 n ,   ξ 3 = - 2 + 3 3 n , … ,   ξ i = - 2 + i 3 n , … , ξ n = - 2 + n 3 n

Como f x = ( x 4 ) ,

f ξ i = - 2 + 3 i n 4   = 16 - 96 i n + 21 6 i 2 n 2 - 216 i 3 n 3 + 81 i 4 n 4

Passo 3

Logo, usando a equação (1) e aplicando as propriedades de somatório, teremos:

∫ - 2 1 ( x 4 )   d x = lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 16 - 96 i n + 216 i 2 n 2 - 216 i 3 n 3 + 81 i 4 n 4 3 n

= lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 4 8 n - 288 i n 2 + 648 i 2 n 3 - 648 i 3 n 4 + 243 i 4 n 5

= l i m n → + ∞ ∑ i = 1 n 48 n - ∑ i = 1 n 288 i n 2 + ∑ i = 1 n 648 i 2 n 3 - ∑ i = 1 n 648 i 3 n 4 + ∑ i = 1 n 243 i 4 n 5

Como n é uma constante, pode sair do somatório multiplicando.

= l i m n → + ∞ 48 n ∑ i = 1 n 1 - 288 n 2 ∑ i = 1 n i   + 648 n 3 ∑ i = 1 n i 2 - 648 n 4 ∑ i = 1 n i 3 + 243 n 5 ∑ i = 1 n i 4  

Lembrando que:

∑ i = 1 n i 4 = n n + 1 6 n 3 + 9 n 2 + n - 1 30

∑ i = 1 n i 3 = n 2 n + 1 2 4

∑ i = 1 n i 2 = n n + 1 2 n + 1 6

∑ i = 1 n i = n ( n + 1 ) 2

Teremos:

= l i m n → + ∞ 48 n n - 288 n 2 n n + 1 2 + 648 n 3   n n + 1 2 n + 1 6 - 648 n 4 n 2 n + 1 2 4 + 243 n 5 n n + 1 6 n 3 + 9 n 2 + n - 1 30

Expandindo a equação:

= lim n → + ∞ ⁡ 4 8 - 144 + 144 n + 216 + 324 n + 108 n 2 - 162 + 324 n + 162 n 2 + 243 5 + 243 2 n + 81 n 2 - 81 10 n 4

= l i m n → + ∞ 33 5 - 225 10 n + 270 10 n 2 - 81 10 n 4

Aplicando o limite:

= lim n → + ∞ ⁡ 33 5 - 0 + 0 - 0  

Resposta

Dessa maneira, o valor da integral definida é:

∫ - 2 1 ( x 4 )   d x = 6,6

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3. Calcule e verifique sua resposta por derivação h )∫ 2 + 1 3 sin ⁡ 2 x d x
4. Calcule d )∫ 0 π 2 1 2 + 1 2 cos ⁡ 2 xd x
7. Calcule b ) ∫ 0 π 4 sin 2 ⁡ xd x
4. Calcule a )∫ 0 π 3 sin ⁡ 2 xd x
4. Calcule c )∫ 0 π 3 sin ⁡ 3 x + cos ⁡ 3 xd x