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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.8 - Ex. 64

Mostre que

(a) L {1} = (1)/(s) , s > 0

(b) L {e^(2 t)} = (1)/(s - 2) , s > 2

(c) L {sin t} = (1)/(s^2 + 1) , s > 0

(d) L {cos t} = (s)/(s^2 + 1) , s > 0

Passo 1

A fórmula da transformada de Laplace que iremos usar para resolvermos essa questão é a seguinte:

L {f ( t )} = int_0^(+ oo) e^(- s t) f ( t ) d t

Portanto, começando pelo item (a):

L {1} = int_0^(+ oo) e^(- s t) d t = underset(l -> + oo)(lim) [- (1)/(s) e^(- s t)]_0^l = (1)/(s)

Para o item (b):

L {e^(2 t)} = int_0^(+ oo) e^(- s t) e^(2 t) d t = int_0^(+ oo) e^(- ( s - 2 ) t) d t = underset(l -> + oo)(lim) [- (1)/(s - 2) e^(- ( s - 2 ) t)]_0^l = (1)/(s - 2)

Para o item (c):

L {sin t} = int_0^(+ oo) e^(- s t) sin t d t = underset(l -> + oo)(lim) [(e^(- s t))/(s^2 + 1) ( - s sin t - cos t )]_0^l = (1)/(s^2 + 1)

E, por fim, para o item (d):

L {cos t} = int_0^(+ oo) e^(- s t) cos t d t = underset(l -> + oo)(lim) [(e^(- s t))/(s^2 + 1) ( - s cos t + sin t )]_0^l = (s)/(s^2 + 1)

Prontinho!!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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