Mostre que

(a) L{1} = 1 / s, s > 0

(b) L{e^(2t)} = 1 / (s - 2), s > 2

(c) L{sen(t)} = 1 / (s^2 + 1), s > 0

(d) L{cos t} = s / (s^2 + 1), s > 0

Passo 1

A fórmula da transformada de Laplace que iremos usar para resolvermos essa questão é a seguinte:

L f ( t ) = ∫ 0 + ∞ e - s t f ( t ) d t

Portanto, começando pelo item (a):

L 1 = ∫ 0 + ∞ e - s t d t = lim l → + ∞ ⁡ - 1 s e - s t 0 l = 1 s

Para o item (b):

L e 2 t = ∫ 0 + ∞ e - s t e 2 t d t = ∫ 0 + ∞ e - ( s - 2 ) t d t = lim l → + ∞ ⁡ - 1 s - 2 e - ( s - 2 ) t 0 l = 1 s - 2

Para o item (c):

L sin ⁡ t = ∫ 0 + ∞ e - s t sin ⁡ t d t = lim l → + ∞ ⁡ e - s t s 2 + 1 ( - s sin ⁡ t - cos ⁡ t ) 0 l = 1 s 2 + 1

E, por fim, para o item (d):

L cos ⁡ t = ∫ 0 + ∞ e - s t cos ⁡ t d t = lim l → + ∞ ⁡ e - s t s 2 + 1 ( - s cos ⁡ t + sin ⁡ t ) 0 l = s s 2 + 1

Prontinho!!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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