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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.6 - Ex. 56

(a) Use um recurso gráfico computacional para gerar o gráfico de

f x = 1 100 ( x + 2 ) ( x + 1 ) ( x - 3 ) ( x - 5 )

e use o gráfico para fazer uma conjectura sobre o sinal da integral ∫ - 2 5 f x d x

(b) Verifique sua conjectura calculando a integral.

Passo 1

Pra esse polinômio, temos o gráfico:

Podemos observar que nos pontos x = - 2 e x = 5 a função tem raízes. Caminhando no sentido de -2 até 5, vemos que entre -2 e-1 a função é negativa. O mesmo acontece entre 3 e 5.

Esses trechos vão contribuir pra redução da área total calculada pela integral. Ainda assim, a gente consegue ver que o trecho entre -1 e 3 a função é positiva e é um trecho notadamente maior que os anteriores.

“De olho”,a gente poderia dizer que a integral seria positiva.

Passo 2

(b)Calculamos:

∫ - 2 5 f x d x = 1 100 ∫ - 2 5 ( x + 2 ) ( x + 1 ) ( x - 3 ) ( x - 5 ) d x =

= 1 100 ∫ - 2 5 x 4 - 5 x 3 - 7 x 2 + 29 x + 30 d x =

= 1 100 x 5 5 - 5 x 4 4 - 7 x 3 3 + 29 x 2 2 + 30 x - 2 5

1 100 5 5 5 - 5 . 5 4 4 - 7 . 5 3 3 + 29 . 5 2 2 + 30 . 5 -

- 1 100 ( - 2 ) 5 5 - 5 - 2 4 4 - 7 - 2 3 3 + 29 ( - 2 ) 2 2 + 30 ( - 2 )

Resolvendo essas sentenças, temos no final:

∫ - 2 5 f x d x = 64,6 - ( - 9,7 ) 100 ≅ 0,74

De fato, concluímos que temos uma integral positiva!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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