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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.6 - Ex. 43

Suponha que 1 2 2 e - 1 2 3 sejam números críticos de uma função f e que

f ' ' x = x 1 2 x 2 + 1

Em cada um desses números determine se f tem um extremo relativo; se tiver, classifique-o.

Passo 1

Para analisarmos os pontos temos que aplicar o teste da segunda derivada, que vai ser exatamente o que está aqui embaixo, mas só vale para os pontos críticos

f ' ' x < 0 ⇒ M á x i m o f ' ' x > 0 ⇒ M í n i m o

Se f ' ' x = 0 ou não existir, não funciona o teste.

Temos

f ' ' x = x 1 2 x 2 + 1

Começando com x = 1 2 2

f ' ' 1 2 2 = 1 2 2 1 2 1 2 2 2 + 1 = 1 2 2 1 2 2 4 + 1

f ' ' 1 2 2 = 1 2 2 1 4 + 1 = 1 2 2 1,25

Lembrando que aquela função com o colchete tendo uma barrinha é a função “parte inteira”. Então:

1,25 = 1

Logo

f ' ' 1 2 2 = 1 2 2 > 0

Assim,

x = 1 2 2

É um ponto de mínimo relativo

Passo 2

Agora com x = - 1 2 3

f ' ' - 1 2 3 = - 1 2 3 1 2 - 1 2 3 2 + 1 = - 1 2 3 1 2 3 4 + 1

f ' ' - 1 2 3 = - 1 2 3 3 8 + 1 = - 1 2 3 1,375

Lembrando que aquela função com o colchete tendo uma barrinha é a função “parte inteira”. Então:

1,375 = 1

Logo

f ' ' - 1 2 3 = - 1 2 3 < 0

Assim,

x = - 1 2 3

É um ponto de máximo relativo

Resposta

x = 1 2 2 → m í n i m o   r e l a t i v o

x = - 1 2 3 → m á x i m o   r e l a t i v o

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