Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.5 - Ex. 28
Encontre as dimensões de um cilindro circular reto com a maior área de superfície que pode ser inscrito em uma esfera de raio .
Passo 1
Vamos definir as variáveis do nosso problema, ok? Temos que é o raio do cilindro inscrito, é o raio da esfera e é a altura do nosso cilindro. A área de superfície total do cilindro circular reto é:
Aqui vale notar que e formam um triângulo retângulo com altura . Sendo assim, pelo teorema de Pitágoras teremos:
Isolando :
Substituindo em :
Passo 2
Ok, encontramos uma expressão que determina a área de superfície de um cilindro circular reto inscrito em uma esfera de raio . Note que nossa variável aqui é e não , pois o raio da esfera é constante e estamos querendo determinar as dimensões máximas do cilindro! Derivando nossa expressão, teremos:
Igualando nossa derivada a zero:
Elevando ambos os lados ao quadrado, teremos:
Que é uma equação biquadrada! Então vamos focar em resolver essa equação agora, beleza?
Passo 3
Vamos chamar de , ok? Se fizermos isso, teremos:
Utilizando Bhaskara:
E essas são nossas raízes! Agora voltando para a variável , teremos:
Ok, show!
Passo 4
Primeira observação: não faz sentido termos um raio negativo, então nosso será:
Ademais, queremos valores máximos para , logo:
Se essa é a dimensão de para que seja maximizado, então a dimensão de será:
E esse é nosso resultado, pessoal! 😉
Resposta
As dimensões para que a área de superfície seja maximizada são: