Uma armação em arame consiste em dois quadrados idênticos, cujos vértices estão ligados por quatro fios restos de mesmo comprimento (Figura Ex-33 a seguir). Se a armação for feita com um único fio de arame de comprimento L , quais devem ser as dimensões para obter uma caixa com o maior volume?

Passo 1

Então pessoal, antes de começarmos a resolução vamos definir quem são nossas variáveis, ok? Vamos chamar de x o comprimento dos quadrados e y a altura dos mesmos. Sendo assim, podemos definir o volume como:

V = x 2 y

Que é o produto entre a área da base e a altura. Além disso, temos que o comprimento L do arame é:

L = 8 x + 4 y

Isolando y nessa expressão:

y = L 4 - 2 x

Substituindo em V , teremos:

V = x 2 L 4 - 2 x

V = L x 2 4 - 2 x 3

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Passo 2

Como queremos descobrir as dimensões para obter um volume máximo, devemos utilizar os conceitos de máximo e mínimo, assim como estudamos na seção em questão! Derivando nossa função, teremos:

d V d x = 1 2 L x - 6 x 2

Igualando nossa derivada a zero:

1 2 L x - 6 x 2 = 0

6 x 2 = 1 2 L x

∴ x = L 12

Agora que encontramos a primeira dimensão, para encontrarmos a segunda basta substituirmos esse valor que acabamos de achar, se liga:

y = L 4 - 2 x

y = L 4 - 2 . L 12

∴ y = L 12

E está aí nossa resolução, galera! 😉

Resposta

x = y = L 12

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