Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.5 - Ex. 31
Uma lata cilíndrica aberta em cima deve conter de líquido. Encontre a altura e o raio que minimizam a quantidade de material necessário para confeccioná-la.
Passo 1
Então pessoal, de início o que devemos fazer é definir quais são as variáveis do nosso problema, tudo bem? Temos que é a altura da lata cilíndrica, é seu raio e seu volume. A área de superfície de um cilindro circular reto (que é a geometria da nossa lata) é dada por:
E o volume é dado pelo produto entre a área da base a altura. Como a área da base é uma circunferência, então:
Isolando :
Substituindo na expressão de , teremos:
Passo 2
Como estamos interessados nos valores de e que minimizam a quantidade de material necessário para confeccionar a lata, então vamos utilizar as noções de cálculo, saca só:
Igualando nossa derivada a zero:
Então esse é nosso valor de que minimiza o custo de produção da lata!
Passo 3
Agora que encontramos mínimo, basta substituirmos o resultado que encontramos na expressão de do passo 1, se liga:
E essas são as dimensões procuradas, galera! 😊