Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.1 - Ex. 71
Suponha que você saiba que é uma sequência decrescente e que todos os termos estão entre os números e . Explique por que a sequência tem um limite. O que você pode dizer sobre o valor do limite?
Passo 1
Fala, amigos! Tudo certinho?
Como a sequência está entre dois valores, podemos pensar que ela é limitada tanto superiormente quanto inferiormente. Vamos dar uma olhada no Teorema da Convergência Monótona (Teorema 12 no nosso livro) :
- Toda sequência monótona limitada é convergente.
Vamos ver se esse é o caso da nossa sequência.
Passo 2
Bom, galera, vamos pensar um pouquinho sobre essa sequência que só tem números entre e . Ela é decrescente, então os números vão diminuindo cada vez mais, mas nunca abaixo de .
Então, só nos resta duas opções: ou a sequência se aproxima cada vez mais de , ou se aproxima de algum número que está acima de . E é exatamente por isso que ela tem que ter um limite, entendeu?
Em palavras mais formais, dizemos que essa sequência é limitada (entre e ) e monótona (decrescente), e portanto, é convergente.
Então, ou , sendo o valor do limite da sequência, beleza?