Suponha que você saiba que a n é uma sequência decrescente e que todos os termos estão entre os números 5 e 8 . Explique por que a sequência tem um limite. O que você pode dizer sobre o valor do limite?

Passo 1

Fala, amigos! Tudo certinho?

Como a sequência está entre dois valores, podemos pensar que ela é limitada tanto superiormente quanto inferiormente. Vamos dar uma olhada no Teorema da Convergência Monótona (Teorema 12 no nosso livro) :

  • Toda sequência monótona limitada é convergente.

Vamos ver se esse é o caso da nossa sequência.

Passo 2

Bom, galera, vamos pensar um pouquinho sobre essa sequência que só tem números entre 5 e 8 . Ela é decrescente, então os números vão diminuindo cada vez mais, mas nunca abaixo de 5 .

Então, só nos resta duas opções: ou a sequência se aproxima cada vez mais de 5 , ou se aproxima de algum número que está acima de 5 . E é exatamente por isso que ela tem que ter um limite, entendeu?

Em palavras mais formais, dizemos que essa sequência é limitada (entre 5 e 8 ) e monótona (decrescente), e portanto, é convergente.

Então, L = 5 ou 5 < L < 8 , sendo L o valor do limite da sequência, beleza?

Resposta

5 ≤ L < 8

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