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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 9.1 - Ex. 14

Suponha que você tenha acabado de servir uma xícara de café recém-coado com uma temperatura de 95 ° C em uma sala onde a temperatura é de 20 ° C .

  1. Quando você acha que o café esfria mais rapidamente? O que acontece com a taxa de resfriamento com o passar do tempo? Explique.
  2. A Lei de Resfriamento de Newton afirma que a taxa de resfriamento de um objeto é proporcional à diferença de temperatura entre o objeto e sua vizinhança, desde que essa diferença não seja muito grande. Escreva uma equação diferencial para expressar a Lei de Resfriamento de Newton nessa situação particular. Qual a condição inicial? Tendo em vista sua resposta na parte (a), você acha que essa equação diferencial é um modelo apropriado para o resfriamento?
  3. Faça um esboço para o gráfico da solução do problema de valor inicial na parte (b).

Passo 1

  1. Nessa questão podemos usar nossos conhecimentos do dia-a-dia e pensar que quanto maior a diferença entre as temperaturas, mais rápido o café irá resfriar. Quanto mais o tempo passa mais essa diferença diminui, então a velocidade de resfriamento diminui conforme o tempo passa.

    2. Passo 2

  2. Pela Lei de Resfriamento de Newton, a taxa de resfriamento de um objeto é inversamente proporcional à diferença de temperatura entre ele e o ambiente. Precisamos encontrar uma equação diferencial que satisfaça isso e ver se condiz com nossa explicação do item (a).

    3. Passo 3

    Vamos chamar a temperatura do café de T , então a taxa de variação da temperatura ao longo do tempo é d T / d t . A constante de proporcionalidade será chamada de k sendo k ≥ 0 , e a diferença é igual a T - T 20 º c = T - 20 ° C . Então:

    d T d t =   - k ( T - 20 )  

    Note que existe um valor negativo na equação para indicar que ela decresce quando T ≥ 20 . Assim, k ≥ 0 .

    Essa equação respeita o que dissemos no item (a), pois quanto menor a diferença de temperatura, menor a taxa de resfriamento.

    Passo 4

  3. Precisamos esboçar um gráfico onde T 0 = 95 e d T d t =   - k ( T - 20 ) .

Também sabemos que a temperatura sempre decresce, até se igualar com a temperatura ambiente de 20 ° C , então podemos desenhar o gráfico:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Ache a solução completa da equação diferencial dada, determinada pelas condições iniciais (15) d y d x = x + 1 x + 2 ; y = - 3 2q u a n d ox = - 3 .
Ache a solução completa da equação diferencial (10) d u d v = c o s 2 v s e n 3 u .
Ache a solução completa da equação diferencial dada, determinada pelas condições iniciais (18) d s d t = cos ⁡ t 2 ; s = 3q u a n d ot = π 3 .
Ache a solução completa da equação diferencial (5) d y d x = 3 x y ² ².
Ache a solução completa da equação diferencial (12) d ² y d x ² = 2 x - 3 ² ² .