Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.3 - Ex. 29
Mostre que, se um campo vetorial é conservativo e têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas, então
Passo 1
Fala pessoal, tudo certo?
Essa questão nos pediu pra provar uma afirmação...
Ela fala que se um campo vetorial é conservativo, e as suas componentes tem derivadas contínuas, então:
Pra provar isso, a gente vai começar do que a gente sabe sobre campos conservativos: se é conservativo existe uma função tal que:
E
Então vamos usar essa relação pra provar as igualdades que o problema deu!
Passo 2
Bom, sabemos que:
são iguais. Então:
Vamos reescrever cada uma das igualdades em função das derivadas parciais de :
Percebe que agora as igualdades dependem das derivadas parciais de segunda ordem de . Vamos reescrever isso, usando a mesma notação do tipo :
Essas igualdades que a gente chegou aqui são verdadeiras sempre! Quando estudamos derivadas parciais a gente vim que independente da ordem de derivação, o resultado vai ser o mesmo. Ou seja pra qualquer função (e os equivalentes nas outras igualdades).
Então provamos a afirmação!
Resposta
Demonstração ao longo da resolução.