Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva.

y = x(x+2)^3

Passo 1

Vamos usarmos o roteiro de esboço de curvas dado na seção para esboçar o gráfico da função dada. Teremos que achar as raízes, interseções com eixos, analisar intervalos de crescimento e decrescimento, concavidade e limites no infinito.

Passo 2

Como se trata de um polinômio, o domínio é real: D f = R .

Passo 3

Vamos achar as interseções com os eixos x e y . Para encontrar a interseção com o eixo y , basta fazer x = 0 , assim y = 0 : a curva intercecta o eixo das ordenas na origem. Para achar as raízes da função:

x   x + 2 3 = 0

Assim, as raízes são x = 0 e x = - 2 . As interseções com os eixos são 0,0 e ( - 2,0 ) .

Passo 4

Como f - x ≠ ± f ( x ) , a função não par nem ímpar.

Passo 5

Como é um polinômio, y não tem assíntotas. Além disso, como o maior expoente é 4 que é par:

lim x → - ∞ ⁡ x x + 2 3 = + ∞

lim x → ∞ ⁡ x x + 2 3 = + ∞

Passo 6

Para estudarmos os intervalos de crescimento e decrescimento, vamos derivar y :

y ' = 1 ⋅ x + 2 3 + x ⋅ 3 x + 2 2 = x + 2 2 x + 2 + 3 x = 2 x + 2 2 ( 2 x + 1 )

Como x + 2 2 ≥ 0 , segue que:

Assim, x = - 2 é um ponto crítico que não é extremo local e x = - 1 / 2 é ponto de mínimo local. Temos que f - 1 / 2 = - 27 / 16 .

Mínimo local: ( - 1 / 2 , - 27 / 16 ) .

Passo 7

Para a concavidade, precisamos da segunda derivada:

y ' ' = 4 x + 2 2 x + 1 + 2 x + 2 2 ⋅ 2 = 4 x + 2 2 x + 1 + x + 2 = 12 x + 2 ( x + 1 )

Assim,

Como f - 1 = - 1 e f - 2 = 0   os pontos ( - 1 , - 1 ) e ( - 2,0 ) são pontos de inflexão.

Resposta

Esboço da curva:

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