Enunciado

Um tanque de água tem a forma de um hemisfério com raio 5   m . A água vaza por um orifício circular de 1   c m no fundo plano. Use as informações do Problema 7 para obter a equação diferencial para a altura h da água com relação ao tempo t .

Passo 1

Aqui temos um tanque em formato de hemisfério, ou seja, metade de uma esfera. Então ele é assim olha:

A água dentro desse tanque ta vazando por aquele orifício, que tem 1   c m de comprimento (lembrando que aqui é o comprimento da circunferência como um todo, e não o seu raio beleza?)

Conforme a água vai vazando pelo orifício, a altura da água dentro do tanque vai diminuindo, e vamos encontrar essa relação através da equação diferencial que envolve d h d t , beleza?

Passo 2

O enunciado nos disse pra utilizar as informações do problema 7, e lá ele fala pra gente que, considerando o atrito, o volume V w de água que sai do tanque por segundo é aproximadamente 0,6 . A 0 . 2 . g . h , ou seja:

d V w d t = - 0,6 . A 0 . 2 . g . h       ( I )

Onde o sinal de menos quer dizer que o volume ta diminuindo, A 0 é a área do orifício, g é a aceleração da gravidade e h é a altura.

Mas isso aí é d V w d t , como podemos fazer pra chegar no d h d t ?

Passo 3

Para manipular a expressão de d V w d t e chegarmos em d h d t , vamos pensar no volume que a água ocupa dentro do tanque.

O volume que a água ocupa será dado pelo volume total do tanque (hemisfério de raio 5 ) menos o volume sem água, que é o volume de um hemisfério de raio r w

Como estamos falando da metade de uma esfera, então o volume do hemisfério vai ser metade do volume de uma esfera:

V w = V t a n q u e - V s e m   á g u a

V w = 2 . π . 5 ³ 3 - 2 . π . r w ³ 3  

V w = 250 π 3 - 2 . π . r w ³ 3

V w = 2 π ( 125 - r w 3 ) 3     ( I I )

Ok, mas quem é r w ? Repara que o raio da superfície da água vai mudando conforme a água vai vazando, não é? Então vamos pensar no nosso tanque de uma forma geométrica:

Lembrando que como temos uma metade de esfera, o raio é sempre 5.

Utilizando Pitágoras, temos que

5 2 = h w 2 + r w ²

r w 2 = 25 - h ²

r w = 25 - h ²   ( I I I )

Substituindo ( I I I ) em ( I I ) :

V w = 2 π 125 - 25 - h 2 3 3

Derivando os dois lados em relação a t :

d V w d t = d 2 π 125 - 25 - h 2 3 3 d t

d V w d t = 2 π 3 d 125 - 25 - h 2 3 d t

Por regra da cadeia:

d V w d t = 2 π 3 . - 3 h 25 - h ² . d h d t     ( I V )

Beleza, encontramos uma expressão que relaciona d V w d t e d h d t , agora podemos brincar com as expressões que temos hehe

Passo 4

Pelos dados do exercício 7, temos:

d V w d t = - 0,6 . A 0 . 2 . g . h     ( I )

E pelas manipulações que fizemos no passo 3, temos:

d V w d t = 2 π 3 . - 3 h 25 - h ² . d h d t     ( I V )

Substituindo ( I V ) em ( I ) :

2 π 3 . - 3 h 25 - h ² . d h d t = - 0,6 . A 0 . 2 . g . h

d h d t = - 0,6 . A 0 2 π 3 . - 3 h 25 - h ² . 2 . g . h

Boaaaa, agora é só substituir os valores :P

Passo 5

Beleza, encontramos que a expressão para a altura h da água em função do tempo é

d h d t = - 0,6 . A 0 2 π 3 . - 3 h 25 - h ² . 2 . g . h

Agora vamos substituir os valores.

Temos que A 0 é a área do orifício. O raio do orifício é de 1   c m = 10 - 2   m .

Portanto, a área do orifício é

A 0 = π . r ²

A 0 = π . 10 - 2 2

A 0 = 10 - 4 . π   m ²

Passo 6

Substituindo os dados do passo 5 na expressão de d h d t :

d h d t = - 0,6 . A 0 2 π 3 . - 3 h 25 - h ² . 2 . g . h

d h d t = - 0,6 . 10 - 4 . π 2 π 3 . - 3 h 25 - h ² . 2 . g . h

De acordo com o exercício 7, temos g = 10   m / s 2

d h d t = - 0,6 . 10 - 4 2 3 . - 3 h 25 - h ² . 2 . 10 . h

E por fim:

d h d t = - 0,6 . 10 - 4 2 . - 3 h 25 - h ² . 20 . h

Resposta

d h d t = - 0,6 . 10 - 4 2 . - 3 h 25 - h ² . 20 . h

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