Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 1.2 - Ex. 14
Dois reagentes químicos A e B são usados para formar um novo composto químico C. Supondo que as concentrações de A e B decrescem pela mesma quantidade de composto C formado, encontre a equação diferencial que governa a concentração x(t) do composto C se a taxa a que a reação química ocorre é proporcional ao produto das concentrações remanescentes de A e B.
Passo 1
Bom, queremos uma equação diferencial que governe , certo?
E aí o enunciado fala pra gente que a taxa que a reação ocorre, ou seja, , é proporcional ao produto das concentrações remanescentes de A e B.
Então:
Onde é uma constante
Ta, mas o que é essa tal de concentração remanescente?
É a concentração que sobra no composto químico conforme A e B vão decrescendo!!
Peraaa, vamos aos poucos para encontrarmos essas concentrações remanescentes
Passo 2
Seja a quantidade de composto C que é formado. O enunciado diz que A e B decrescem pela mesma quantidade de , certo?
Então, a concentração que vai sobrando de A conforme C vai se formando é:
Onde é a concentração inicial do composto A.
Da mesma forma, a concentração que vai sobrando de B conforme C vai se formando é:
Onde é a concentração inicial do composto B.
Passo 3
Temos que
E no passo 2, vimos que a concentração remanescente de A é
E a concentração remanescente de B é
Então: