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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.3 - Ex. 21a

21. Suponha que as condições são como no Problema 20, exceto que existe uma força devido àresistência do ar com sentido oposto ao da velocidade e magnitude |υ|/30, em que a velocidadeυ é medida em m/s.(a) Encontre a altura máxima acima do solo alcançada pela bola.(b) Encontre o instante em que a bola bate no chão.(c) Desenhe os gráficos da velocidade e da posição em função do tempo. Compare essesgráficos com os gráficos correspondentes no Problema 20.

Passo 1

Quando começamos a falar de resistência do ar começar a fala das Forças de Arrasto. Que podem ser Linear ou Quadráticas. A que estamos trabalhando em questão é a Linear que tem o seguinte formato

F a =   - k v

No nosso caso nossa força de arrasto é

F a =   - 1 30 | v |

Passo 2

Para resolver essa questão precisamos fazer uma análise das forças em questão

F r =   - F g - F a

m a =   - m g - k v

Podemos fazer um pequeno truque aqui

m d v d t = -   m g - k v

d v d t =   - g - k m v

Visto que essa questão quer a velocidade em função da distância, podemos fazer a seguinte manipulação

d v d t = v d v d x

E olha que ótimo temos em mãos uma equação separável, isso facilita muito nosso trabalho

v g + k m v d v =   - 1 d x

Para resolver essa integração vamos precisar fazer uma substituição

∫ v g + k m v d v = ∫ - 1 d x

u =   g + k m v

v = u - g m k

d u = k m d v

Assim nossa integral fica da seguinte maneira

∫ v g + k m v d v = m k 2 ∫ u - g u d u

= m k 2 ∫ 1 d u -   ∫ g u d u    

= m k 2 u - g ln ⁡ u  

Voltando de u → v   e continuando nossa solução

m k 2 g + k m v - g ln ⁡ g + k m v = - x + C

Passo 3

Vamos descobrir o valor de C , utilizando os dados de contorno

v 0 = 20

0.15 ⋅ 30 2 10 + 1 0.15 ⋅ 30 20 - 10 ln ⁡ 10 + 1 30 ⋅ 0.15 20 = C

c =   - 248

Logo nossa função é

0.15 ⋅ 30 2 10 + 1 0.15 ⋅ 30 v - 10 ln ⁡ 10 + 1 30 ⋅ 0.15 v = - x - 248

SE queremos a altura máxima logo v = 0

0.15 ⋅ 30 2 10 - 10 ln ⁡ 10 = - x - 248

- 16 =   - x

x = 16   m

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

x = 16   m

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