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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.3 - Ex. 2

2. Um tanque contém inicialmente 120 litros de água pura. Uma mistura contendo uma concentração de γ gramas por litro de sal entra no tanque a uma taxa de 2 litros por minuto e a mistura bem mexida sai do tanque à mesma taxa. Encontre uma expressão para a quantidade de sal no tanque em qualquer instante t em termos de γ. Encontre, também, a quantidade limite de sal no tanque quando t → ∞

Passo 1

A equação diferencial que resolve esse problema pode ser encontrada na seção deste livro, mas podemos escrever como

d Q d t = T a x a   d e   E n t r a d a - T a x a   d e   S a i d a

d Q d t = γ r - r Q V

Onde Q é a concentração do nosso material

d Q d t é a variação dessa concentração

γ é a concentração do volume do líquido que entra

r é a vazão de água que entra no tanque, se entrar a mesma quantidade que sai, logo podemos repetir r nos 2 termos

V é o volume do tanque

A solução dessa equação também pode ser encontrada nessa seção e podemos escrever como

d Q d t = γ r - r Q V

1 γ r - r Q V d Q = d t

Integrando em ambos os lados temos

- V r ln ⁡ γ r - r Q V = t + C

ln ⁡ γ r - r Q V = - r V t + C

γ r - r Q V = e - r V t + C

Ajustando um pouquinho essa equação e lembrando que podemos manipular a vontade nossa constante arbitraria, podemos escrever a solução como

Q = γ V - C e - r t V r

Ou de forma mais limpa podemos escrever

Q = γ V + C e - r t V

Prontinho!!! Temos nossa equação para trabalhar \o/

Passo 2

Vamos agora usar os dados de contorno para resolver nosso problema. Sabemos que

V = 120   L

r = 2   L / m i n

Q 0 = 0

Com isso podemos encontrar o valor da nossa constante arbitraria C

Q = γ V + C e - r t V

0 = γ 120 + C

C =   - 120 γ

Com isso nossa equação fica

Q = 120 γ - 120 γ e - 2 t 120

Q = 120 γ 1 - e - t 60

Passo 3

Agora queremos saber o que acontece com nosso tanque quando deixamos esse sistema por um tempo muuuito longo

lim t → ∞ ⁡ 120 γ 1 - e - t 60 = 120 γ

Ou seja, depois de um tempo muuuuito grande o tanque é preenchido por apenas o liquido que entra. Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Q = 120 γ 1 - e - t 60

lim t → ∞ ⁡ 120 γ 1 - e - t 60 = 120 γ

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