Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.3 - Ex. 3
3. Um tanque contém inicialmente 100 galões de água fresca. Joga-se, então, água contendo ½ libra de sal por galão a uma taxa de 2 galões por minuto e permite-se que a mistura saia do tanque à mesma taxa. Depois de 10 minutos, o processo é parado e joga-se água fresca no tanque a uma taxa de 2 galões por minuto, com a mistura deixando o tanque, novamente, àmesma taxa. Encontre a quantidade de sal no tanque ao final de 10 minutos adicionais
Passo 1
A equação diferencial que resolve esse problema pode ser encontrada na seção deste livro, mas podemos escrever como
Onde Q é a concentração do nosso material
é a variação dessa concentração
é a concentração do volume do líquido que entra
r é a vazão de água que entra no tanque, se entrar a mesma quantidade que sai, logo podemos repetir r nos 2 termos
V é o volume do tanque
A solução dessa equação também pode ser encontrada nessa seção e podemos escrever como
Integrando em ambos os lados temos
Ajustando um pouquinho essa equação e lembrando que podemos manipular a vontade nossa constante arbitraria, podemos escrever a solução como
Ou de forma mais limpa podemos escrever
Prontinho!!! Temos nossa equação para trabalhar \o/
Passo 2
Vamos agora usar os dados de contorno para resolver nosso problema. Sabemos que
Com isso podemos encontrar o valor de C
Assim podemos reescrever nossa equação como
Vamos plotar os valores na nossa equação agora
Passo 3
Agora queremos saber qual a concentração depois de 10 minutos
Passo 4
Agora temos a parte 2 do problema, abre a torneira com água limpa ( e deixa 10 minutos limpando o tanque. Então temos que montar novamente nossa equação
Assim nossa função fica
Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução
: )