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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.1 - Ex. 13

Dado que t = csc - 1 ⁡ - 3 2 , ache o valor exato de cada uma das funções: (a) sen ⁡ t ; (b) cos ⁡ t ; (c) tan ⁡ t ; (d) cot ⁡ t ; (e) sec ⁡ t .

Passo 1

  1. sen ⁡ t

    2. A primeira coisa que vamos fazer é observar que se t = csc - 1 ⁡ - 3 2 , então csc ⁡ t = - 3 2 . Agora lembramos também que csc ⁡ t = 1 sen ⁡ t = - 3 2 , então sen ⁡ t = - 2 3 .

    Passo 2

  2. cos ⁡ t

    3. Para achar cos ⁡ t , vamos usar a relação sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1 e o resultado da letra a).

    - 2 3 2 + cos 2 ⁡ t = 1

    cos 2 ⁡ t = 1 - 4 9 = 5 9   →   cos ⁡ t = ± 5 9 = ± 5 3

    Lembre-se que a imagem da csc - 1 ⁡ t é o intervalo - π , - π 2 . Sendo assim, t ∈   - π , - π 2 e cos ⁡ t < 0 . Logo,

    cos ⁡ t = - 5 3

    Passo 3

  3. tan ⁡ t

    4. Sabemos que tan ⁡ t = sen ⁡ t cos ⁡ t , então, utilizando os resultados anteriores, temos:

    tan ⁡ t = - 2 3 - 5 3 = 2 5

    Passo 4

  4. cot ⁡ t

    5. Sabemos que cot ⁡ t = cos ⁡ t sen ⁡ t , então, utilizando os resultados anteriores, temos:

    cot ⁡ t = - 5 3 - 2 3 = 5 2

    Passo 5

  5. sec ⁡ t

Sabemos que sec ⁡ t = 1 cos ⁡ t , então, utilizando os resultados anteriores, temos:

sec ⁡ t = 1 - 5 3 = - 3 5

Resposta

  1. - 2 3
  2. - 5 3
  3. 2 5
  4. 5 2
  5. - 3 5
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