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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.8 - Ex. 8

8) Uma partícula de massa m   =   2   desloca-se sobre o eixo O x sob a ação da força resultante   F → x = - 1 x 2   i → . Sabe-se que x 0 = 1   e   v 0 = v 0 > 0 .

  1. Relacione v com x
  2. Determine o menor valor de v 0 para que a partícula não retorne à posição inicial x = 1 .

Passo 1

  1. Lá da física, a gente sabe o seguinte:

    F → =   m a →

    Trabalhando na direção   i → :

    m a = - 1 x 2 →   2 ⋅ a = - 1 x 2

    a = - 1 2 x 2   ( i )

    Lá da cinemática, temos o seguinte:

    v = d x d t e a = d v d t

    Isolando o d t :

    d t = d x v e d t = d v a

    Igualando, temos:

    a   d x   = v   d v   ( i i )

    Juntando as relações i   e   i i :

    - 1 2 x 2     d x = v   d v

    Agora vamos integrar!!

    ∫ x ( 0 ) x ( t ) - 1 2 x 2   d x = ∫ v ( 0 ) v ( t ) v   d v

    Vamos escolher o limite de integração inferior como t   =   0 , pois temos informações sobre ele 😉

    Não esquece: ∫ x n d x   = x n + 1 n + 1 + c     quando   n   ≠ - 1  

    Passo 2

    Agora vamos resolver a integral!

    ∫ x ( 0 ) x ( t ) - 1 2 x 2   d x = ∫ v ( 0 ) v ( t ) v   d v → - 1 2 ∫ x ( 0 ) x ( t ) 1 x 2   d x = ∫ v ( 0 ) v ( t ) v   d v

    As cosias vão ficar assim ó:

    - 1 2 x - 2 + 1 - 2 + 1 | x 0 x t = v 1 + 1 1 + 1 | v 0 v t → - 1 2 x - 1 - 1 | x 0 x t = v 2 2 | v 0 v t

    Agora vamos finalizar!

    - 1 2 x - 1 - 1 | x 0 x t = v 2 2 | v 0 v t

    1 2 1 x t - 1 x 0 = 1 2 v t 2 - v 0 2

    cortando o   1 2 dos dois lados e substituindo os dados do enunciado:

    1 x t - 1 1 = v t 2 - v 0 2

    Logo,

    v t 2 - v 0 2 = 1 x t - 1

    v 2 - v 0 2 = 1 x - 1

    Passo 3

  2. Repare basta impormos a condição de x > 1 , sacou?!

Agora vamos tentar usar a relação do item anterior:

v 2 - v 0 2 = 1 x - 1

Vejamos:

v 2 ≥ 0 → v 0 2 + 1 x - 1 > 0   ( i )

Outra coisa:

x > 1 → 1 x < - 1 que é basicamente - 1 > 1 x ( i i )

Somando ( i ) e ( i i ) :

v 0 2 + 1 x - 1 - 1 ≥ 1 x

Arrumando a casa:

v 0 2 - 1 - 1 ≥ 0 → v 0 2 ≥ 2

Logo,

v 0   m í n =   2

Resposta

  1. v 2 - v 0 2 = 1 x - 1
  2. v 0   m í n =   2
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