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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.8 - Ex. 4

4) Uma partícula de massa m   =   5   desloca-se sobre o eixo O x sob a ação da força resultante   F → x =   - 2 x   i → . Sabe-se que no instante t = 2 a partícula encontra-se na posição x = 0   e   v = 4 .

  1. Expresse o módulo de v em função de x .
  2. Qual o máximo valor de v ?
  3. Qual o máximo valor de x ?
  4. Em que posições a velocidade é zero?

Passo 1

  1. Lá da física, a gente sabe o seguinte:

    F → =   m a →

    Trabalhando na direção   i → :

    m a =   - 2 x → 5 ⋅ a = - 2 x →   a =   - 2 x 5     ( i )

    Lá da cinemática, temos o seguinte:

    v = d x d t e   a = d v d t  

    Isolando o d t :

    d t = d x v   e   d t = d v a  

    Igualando , temos:

    a   d x   = v   d v   ( i i )

    Juntando as relações i   e   i i :

    - 2 x     d x = v   d v

    Agora vamos integrar!!

    ∫ x ( 2 ) x ( t ) - 2 x 5   d x = ∫ v ( 2 ) v ( t ) v   d v

    Vamos escolher o limite de integração inferior como t   =   2 , pois temos informações sobre ele!!

    Não esquece: ∫ x n d x   = x n + 1 n + 1 + c     quando   n   ≠ - 1  

    - 2 5 x 2 2 - x 2 2 2 =   v 2 2 - v 2 2 2 →   - 2 5 x 2 2 - 0 2 2 =   v 2 2 - 4 2 2

    Só mais um pouco de conta!

    - 2 5 x 2 2 =   v 2 2 - 16 2 → 2 5 x 2 + v 2 = 16

    v = 10 5 40 -   x 2

    Passo 2

  2. Pela relação encontrada cima, o valor máximo de v ocorrerá quando x for mínimo. logo, quando x = 0

    3. v = 10 5 40 -   0 2 = 400 5 = 20 5 = 4

  3. Sabemos o seguinte:

    4. 2 5 x 2 + v 2 = 16

    Isolando o x , temos o seguinte:

      x = 5 2 16 - v 2

    Agora ficou igual ao anterior, x será máximo quando v for mínimo.

    Logo, quando v = 0

    x = 5 2 16 - v 2 = 5 2 16 - 0 2 =   40

    Passo 3

  4. Para acharmos as posições de velocidade nula, bata usarmos aquela relação:

2 5 x 2 + v 2 = 16   quando   v = 0 : 2 5 x 2 = 16 → x =   40     ou   x =   - 40

Resposta

a) v = 10 5 40 -   x 2

b) v =   4

c) x =   40

d) x =   40     ou   x =   - 40

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