Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 6.6 - Ex. 21

Um tanque cilíndrico circular reto com uma profundidade de 10 m e um raio de 5 m está cheio de água até a metade. Ache o trabalho necessário para que a água seja bombeada até a borda do tanque.

Passo 1

Sabemos que o trabalho W realizado para levantar uma massa de água de uma altura z é dado por W = m g z , sendo m a massa de água e g o valor da aceleração da gravidade. Devemos então integrar a expressão d W = g z   d m , com d m sendo a massa de um disco de água de altura infinitesimal que está a altura z , com o eixo z tendo a origem no topo do tanque e orientado pra baixo. A integração será feita no intervalo [ 5,10 ] , que é onde temos a coluna de água.

Passo 2

Devemos achar primeiro a expressão da massa d m de cada disco de água. Temos um cilindro de altura infinitesimal d z e área da base A = π ⋅ 5 2 = 25 π , então temos d V = A d z = 25 π   d z . Sendo ρ = 1000 k g m 3 a densidade da água, temos então d m = ρ d V = 25 π ⋅ 1000 = 25000 π   d z . O trabalho infinitesimal d W é então d W = d m   g z = 25000 π g   z d z

Passo 3

Agora podemos integrar para obter W :

W = ∫ 5 10 25000 π g   z d z = 25000 π g z 2 2 5 10 = 12500 π g 10 2 - 5 2 = 937500 π g   J  

Se g=9,81 m/s², W ≈ 28892834   J

Resposta

W = 28.892.834   J

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

13) A B de constate k está presa ao suporte A e a um corpo de massa m . O comprimento normal da mola é l . Desprezando o atrito entre o corpo B e a barra horizontal, mostre que a aceleração a do corpo
Sobre uma partícula que se desloca sobre o eixo Ox atua uma força F → de intensidade 3N e que forma com o eixo Ox um ângulo x radianos.Calcule o trabalho realizado por F → quando a partícula se desloc
3) Uma partícula de massa m=1 desloca-se sobre o eixo O x sob a ação da força resultante F → x =- xi → . Sabe-se que no instante t = 0 a partícula encontra-se na posição x = 1ev = 2 . Verifique que, p
6) Uma partícula de massa m desloca-se sobre o eixo O x com aceleraçãoa , de sorte que a força resultante sobre a partícula é, pela Lei de Newton, m ai → . Sejam x 0ev 0 a posição e a velocidade no in
7) Um corpo de massa m é lançado verticalmente. Seja y = y ( t ) a altura no instante t (considere o eixo vertical 0 y orientado do solo para cima). Suponha y 0 = 0ev 0 = v 0 . Suponha, ainda, que a ú