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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.4 - Ex. 49

Temperatura em uma circunferência. Seja T = f x ,   y a temperatura no ponto x ,   y na circunferência x = cos ⁡ t , y = sen ⁡ t , 0 ≤ t ≤ 2 π e suponha que

a. Descubra onde ocorrem as temperaturas máxima e mínima na circunferência examinando as derivadas d T / d t e d 2 T / d t 2 .

b. Suponha que T = 4 x 2 - 4 x y + 4 y 2 . Encontre os valores máximo e mínimo de T na circunferência.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem com vocês? Vamos lá! Primeiramente a gente vai desenhar o diagrama de árvore:

Com o diagrama, conseguimos definir a Regra da Cadeia:

d T d t = ∂ T ∂ x d x d t + ∂ T ∂ y d y d t

Passo 2

Com x = cos ⁡ t y = sen ⁡ t conseguimos transformar as derivadas dadas no enunciado em função de t :

∂ T ∂ x = 8 x - 4 y = 8 cos ⁡ t - 4 sen ⁡ t

∂ T ∂ y = 8 y - 4 x = 8 sen ⁡ t - 4 cos ⁡ t

Substituindo na equação da Regra da Cadeia:

d T d t = 8 cos ⁡ t - 4 sen ⁡ t ∙ - sen ⁡ t + 8 sen ⁡ t - 4 cos ⁡ t ∙ cos ⁡ t

d T d t = 4 sen 2 ⁡ t - 4 cos 2 ⁡ t + 8 sen ⁡ t cos ⁡ t - 8 sen ⁡ t cos ⁡ t

d T d t = - 4 cos 2 ⁡ t - sen 2 ⁡ t

Sabemos que cos 2 ⁡ t - sen 2 ⁡ t = cos ⁡ 2 t , logo:

d T d t = - 4 cos ⁡ 2 t

Igualando essa derivada a zero:

cos ⁡ 2 t = 0

2 t = cos - 1 ⁡ 0

Temos 2 opções:

2 t = π 2 2 t = 3 π 2

Logo:

t = π 4 t = 3 π 4

Mas como sabemos pelas propriedades das funções trigonométricas que cos ⁡ θ = cos ⁡ - θ , então temos 4 valores para t : - π / 4 , π / 4 , - 3 π / 4 e 3 π / 4 .

Passo 3

Agora iremos calcular d 2 T / d t 2 :

d 2 T d t 2 = ∂ 2 T ∂ x 2 d 2 x d t 2 + ∂ 2 T ∂ y 2 d 2 y d t 2

= 8 ∙ - cos ⁡ t + 8 ∙ - sen ⁡ t

Então temos a nossa segunda derivada:

d 2 T d t 2 = - 8 ∙ cos ⁡ t + sen ⁡ t

Igualando a zero:

- 8 ∙ cos ⁡ t + sen ⁡ t = 0

sen ⁡ t = - cos ⁡ t

Dividindo ambos os lados por cos ⁡ t :

sen ⁡ t cos ⁡ t = - cos ⁡ t cos ⁡ t

tg ⁡ t = - 1

t = - π 4 t = 3 π 4

Passo 4

Para os 4 valores que encontramos para t ( - π / 4 , π / 4 , - 3 π / 4 e 3 π / 4 ), iremos encontrar seus respectivos valores de x e y :

t = - π 4 → x = 2 2 y = - 2 2

t = π 4 → x = 2 2 y = 2 2

t = - 3 π 4 → x = - 2 2 y = - 2 2

t = 3 π 4 → x = - 2 2 y = 2 2

Onde os pontos 2 2 ,   - 2 2 e - 2 2 ,   2 2 são máximos e os pontos 2 2 ,   2 2 e - 2 2 ,   - 2 2 são mínimos.

Passo 5

No item b., temos a seguinte equação:

T = 4 x 2 - 4 x y + 4 y 2

Para os pontos máximos, temos:

T m a x = 4 ∙ 2 2 2 - 4 ∙ 2 2 ∙ - 2 2 + 4 ∙ 2 2 2

= 4 ∙ 2 4 - 4 ∙ - 2 4 + 4 ∙ 2 4

= 2 + 2 + 2

T m a x = 6

E para os pontos mínimos:

T m i n = 4 ∙ 2 2 2 - 4 ∙ 2 2 ∙ 2 2 + 4 ∙ 2 2 2

= 4 ∙ 2 4 - 4 ∙ 2 4 + 4 ∙ 2 4

= 2 - 2 + 2

T m i n = 2

Tchau pessoal, até mais.

Resposta

  1. Máximo 2 2 ,   - 2 2 e - 2 2 ,   2 2 ;

    2. Mínimo 2 2 ,   2 2 e - 2 2 ,   - 2 2 .

  2. T m a x = 6 ;

T m i n = 2 .

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