Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.4 - Ex. 47

Valores extremos em uma hélice. Suponha que as derivadas parciais de uma função f x ,   y ,   z nos pontos da hélice x = cos ⁡ t , y = sen ⁡ t , z = t sejam

Em que pontos na curva, caso exista algum, f assume um valor extremo?

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem com vocês? Vamos lá!

Com essa derivadas dadas no enunciado:

Conseguimos descobrir as derivadas em função de x , y e z :

f x = x                                   f y = y                                   f z = z 2 + z - 2

Pensando no inverso dessa função, ou seja:

f x = x → f x = x 2 2

f y = y → f y = y 2 2

f z = z 2 + z - 2 → f z = z 3 3 + z 2 2 - 2 z

Imaginando que a função f é a soma das funções, pois conseguimos obter as derivadas dadas, então:

f x ,   y ,   z = x 2 2 + y 2 2 + z 3 3 + z 2 2 - 2 z

f x ,   y ,   z = 3 x 2 + 3 y 2 + 2 z 3 + 3 z 2 - 12 z 6

Passo 2

Substituindo na equação os dados do enunciado:

x = cos ⁡ t y = sen ⁡ t z = t              

para deixarmos em função de t :

f t = 3 cos 2 ⁡ t + 3 sen 2 ⁡ t + 2 t 3 + 3 t 2 - 12 t 6

f t = 3 ( cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t ) + 2 t 3 + 3 t 2 - 12 t 6

Sabemos que:

cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t = 1

Logo:

f t = 3 + 2 t 3 + 3 t 2 - 12 t 6

f t = 1 2 + t 3 3 + t 2 2 - 2 t

Passo 3

Derivando e igualando a zero, a equação do Passo 2, para descobrirmos os valores de t , para quando os pontos são extremos:

f t = t 2 + t - 2 = 0

Como temos uma equação de segundo grau:

∆ = b 2 - 4 a c = 1 2 - 4 ∙ 1 ∙ ( - 2 )

∆ = 9

t = - b ± ∆ 2 a = - 1 ± 3 2

Então:

t ' = - 2 t ' ' = 1        

Passo 4

Então os pontos na curva, onde f assume valor extremo, é quando t = - 2 :

x = cos ⁡ t = cos ⁡ - 2 = cos ⁡ 2

x = cos ⁡ 2

y = sen ⁡ t = sen ⁡ - 2 = - sen ⁡ 2

y = - sen ⁡ 2

z = t = - 2

Logo:

x = cos ⁡ 2         y = - sen ⁡ 2 z = - 2                

E quando t = 1 :

x = cos ⁡ 1 y = sen ⁡ 1 z = 1              

Tchau pessoal, te espero em mais exercícios, até lá!

Resposta

  • cos ⁡ 1 ,   sen ⁡ 1 ,   1 ;
  • cos ⁡ 2 ,   - sen ⁡ 2 ,   - 2 .

Exercícios de Livros Relacionados

Assuma que w = f (t s^2 + (s)/(t)) e (del f)/(del x) (x , y) = x y e (del f)/(del y) (x , y) = (x^2)/(2) . Encontre (del w)/(del t) e (del w)/(del s) .
Curva no espaço. Seja w = x 2 e 2 y cos ⁡ 3 z . Encontre o valor de d w / d t no ponto 1 , ln ⁡ 2 ,0 na curva x = cos ⁡ t , y = ln ⁡ t + 2 , z = t .
Diferenciando integrais. Sob certas condições com relação à continuidade, é verdade que, se F x = ∫ a b g t ,x d t , então F ' x = ∫ a b g x t ,x d t . Utilizando esse fato e a regra da cadeia, podemo
Diferenciando integrais. Sob certas condições com relação à continuidade, é verdade que, se F x = ∫ a b g t ,x d t , então F ' x = ∫ a b g x t ,x d t . Utilizando esse fato e a regra da cadeia, podemo
Equações de Laplace. Seja w = f u + g v , onde u = x + i y , v = x - i y e i = - 1 . Mostre que w satisfaz a equação de Laplace w x x + w y y = 0 se todas as funções necessárias forem diferenciáveis.