Equações de Laplace. Mostre que, se satisfaz a equação de Laplace e se e , então satisfaz a equação de Laplace .
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem com vocês? Vamos lá! Relembrando que para uma função , a equação de Laplace é:
Ou:
Então pelo enunciado temos:
E para , precisamos provar que, ou seja:
Pelo nosso diagrama de árvore:
Conseguimos definir nossas derivadas de segunda ordem pela Regra da Cadeia:
Então:
Passo 2
Sendo assim, para:
As derivadas de primeira ordem:
E:
E de segunda ordem:
Passo 3
E para . Temos as seguintes derivadas de primeira ordem:
E:
E de segunda ordem:
Passo 4
Substituindo os valores encontrados na equação do Passo 1:
Logo:
Então podemos dizer que satisfaz a equação de Laplace:
Até mais galerinha!
Resposta
Respostas nos Passos.
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Assuma que w = f(s^3 + t^2) e f'(x) = e^x . Encontre ∂w / ∂t e ∂w / ∂s .
Nos Exercícios 13-24, desenhe um diagrama de árvore e escreva uma fórmula da regra da cadeia para cada derivada.∂w / ∂r e ∂w / ∂s para w = f(x, y) , x = g(r) , y = h(s)
Nos Exercícios 13-24, desenhe um diagrama de árvore e escreva uma fórmula da regra da cadeia para cada derivada. ∂ w ∂ s e ∂ w ∂ t para w = g u , u = h s ,t
Nos Exercícios 13-24, desenhe um diagrama de árvore e escreva uma fórmula da regra da cadeia para cada derivada.∂y / ∂r para y = f(u) , u = g(r, s)
Nos Exercícios 13-24, desenhe um diagrama de árvore e escreva uma fórmula da regra da cadeia para cada derivada.∂w / ∂p para w = f(x, y, z, v) , x = g(p, q) , y = h(p, q) , z = j(p, q) , v = k(p, q)