Equações de Laplace. Mostre que, se satisfaz a equação de Laplace e se e , então satisfaz a equação de Laplace .
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem com vocês? Vamos lá! Relembrando que para uma função , a equação de Laplace é:
Ou:
Então pelo enunciado temos:
E para , precisamos provar que, ou seja:
Pelo nosso diagrama de árvore:
Conseguimos definir nossas derivadas de segunda ordem pela Regra da Cadeia:
Então:
Passo 2
Sendo assim, para:
As derivadas de primeira ordem:
E:
E de segunda ordem:
Passo 3
E para . Temos as seguintes derivadas de primeira ordem:
E:
E de segunda ordem:
Passo 4
Substituindo os valores encontrados na equação do Passo 1:
Logo:
Então podemos dizer que satisfaz a equação de Laplace:
Até mais galerinha!
Resposta
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