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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.4 - Ex. 45

Equações de Laplace. Mostre que, se w = f u ,   v satisfaz a equação de Laplace f u u + f v v = 0 e se u = x 2 - y 2 / 2 e v = x y , então w satisfaz a equação de Laplace w x x + w y y = 0 .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem com vocês? Vamos lá! Relembrando que para uma função f x ,   y , a equação de Laplace é:

∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0

Ou:

f x x + f y y = 0

Então pelo enunciado temos:

f u u + f v v = ∂ 2 f ∂ u 2 + ∂ 2 f ∂ v 2 = 0

E para u = x 2 - y 2 / 2 v = x y                                       , precisamos provar que   w x x + w y y = 0 , ou seja:

∂ 2 w ∂ x 2 + ∂ 2 w ∂ y 2 = 0

Pelo nosso diagrama de árvore:

Conseguimos definir nossas derivadas de segunda ordem pela Regra da Cadeia:

Então:

∂ 2 w ∂ x 2 + ∂ 2 w ∂ y 2 = ∂ 2 w ∂ u 2 ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 w ∂ v 2 ∂ 2 v ∂ x 2 + ∂ 2 w ∂ u 2 ∂ 2 u ∂ y 2 + ∂ 2 w ∂ v 2 ∂ 2 v ∂ y 2

Passo 2

Sendo assim, para:

u = x 2 - y 2 2

As derivadas de primeira ordem:

∂ u ∂ x = 2 x 2 = x

E:

∂ u ∂ y = - 2 y 2 = - y

E de segunda ordem:

∂ 2 u ∂ x 2 = 1

∂ 2 u ∂ y 2 = - 1

Passo 3

E para v = x y . Temos as seguintes derivadas de primeira ordem:

∂ v ∂ x = y

E:

∂ v ∂ y = x

E de segunda ordem:

∂ 2 v ∂ x 2 = 0

∂ 2 v ∂ y 2 = 0

Passo 4

Substituindo os valores encontrados na equação do Passo 1:

∂ 2 w ∂ x 2 + ∂ 2 w ∂ y 2 = ∂ 2 w ∂ u 2 ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 w ∂ v 2 ∂ 2 v ∂ x 2 + ∂ 2 w ∂ u 2 ∂ 2 u ∂ y 2 + ∂ 2 w ∂ v 2 ∂ 2 v ∂ y 2

∂ 2 w ∂ x 2 + ∂ 2 w ∂ y 2 = ∂ 2 w ∂ u 2 ∙ 1 + ∂ 2 w ∂ v 2 ∙ 0 + ∂ 2 w ∂ u 2 ∙ - 1 + ∂ 2 w ∂ v 2 ∙ 0

∂ 2 w ∂ x 2 + ∂ 2 w ∂ y 2 = ∂ 2 w ∂ u 2 - ∂ 2 w ∂ u 2

Logo:

∂ 2 w ∂ x 2 + ∂ 2 w ∂ y 2 = 0

Então podemos dizer que w satisfaz a equação de Laplace:

w x x + w y y = 0

Até mais galerinha!

Resposta

Respostas nos Passos.

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