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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 10.13 - Ex. 3

Um fluido tem um vetor densidade de fluxo f → = x i → - 2 x + y j → + k .   → Sejam S hemisfério x ² + y ² + z ² = 4 , z ≥ 0   e n → a normal que aponta para fora . Calcular a massa de fluido que atravessa S na direção de n → em uma unidade de tempo

Passo 1

Como temos uma função de densidade que travessa uma superfície estamos calculando o fluxo atravessa essa superfície, a massa desse fluido é a integral vetorial abaixo

ϕ =   ∫ ∫ S f x , y , z * ∇ → g ∇ → g   d A    

Sabemos que nosso g é

g   :     x 2 + y 2 + z 2 - 4 = 0

E que nossa função de densidade é

f = x ,   - 2 x - y ,   1

Passo 2

Vamos calcular o gradiente de g

∇ → g = 2 x , 2 y , 2 z

∇ → g = 4   x 2 + y 2 + z 2

Felizmente podemos substituir essa expressão pela da esfera

x 2 + y 2 + z 2 - 4 = 0

Assim ∇ → g   fica

∇ → g = 4   4

∇ → g = 4

Passo 3

Agora que já fizemos todas as partes pequenas, Vamos unir isso tudo na nossa integral

∫ ∫ S f x , y , z * ∇ → g ∇ → g   d A    

∫ ∫ S x ,   - 2 x - y ,   1 * 2 x , 2 y , 2 z 4   d A    

1 2 ∫ ∫ S x 2 - 2 x y - y 2 + z   d A    

Vamos projetar z no plano XY e isso nos dará uma região circular. Assim o caminho mais fácil para integrar é mudar para coordenadas polares

x 2 + y 2 + z 2 - 4 = 0

z   = 4 - x 2 - y 2

1 2 ∫ ∫ S x 2 - 2 x y - y 2 + 4 - x 2 - y 2   d A    

Passo 4

Projetando nossa região fica assim

Lembrando que para mudar as coordenadas temos a seguinte regra

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n   θ

J = r

Vamos cair dentro agora

1 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 2 r 2 cos ⁡ θ - 2 r 2 c o s θ   s e n θ - r 2 s e n θ + 4 - r 2   r d r d θ

Ficou um pouco grande mas te garanto que está mais fácil integrar agora. Isso porque temos os termos

cos ⁡ θ ,

  2 c o s θ   s e n θ = s e n 2 θ   ,

  s e n θ

E todas essas funções integrando em θ ∈ 0,2 π se anulam. Vamos Integrar em relação a θ primeiro

1 2 ∫ 0 2 r 2 * 0 ⁡ - 2 r 2 * 0 - r 2 * 0 + 2 π 4 - r 2   r d r

π ∫ 0 2 4 - r 2   r d r

=   - 1 3 π 4 - r 2 3 2 r = 0 2

= 1 3 π 4 3 2

= 8 3 π

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

ϕ =   ∫ ∫ S f x , y , z * ∇ → g ∇ → g   d A   = 8 3 π

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