Determine (a) o rotacional e (b) o divergente dos campos vetoriais.

F(x, y) = (e^x * sen(y), e^y * sen(z), e^z * sen(x))

Passo 1

Oii, galera, beleza?

Esse exercício pede pra gente achar o divergente de um campo vetorial.

Vamos lembrar que pra um campo F → x , y , z = P   i ^ + Q   j ^ + R   k ^ , o divergente é:

div ⁡ F → = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z

Nosso campo é:

F → x , y = e x sen ⁡ y , e y sen ⁡ z , e z sen ⁡ x

Daí, temos:

P = e x sen ⁡ y

Q = e y sen ⁡ z

R = e z sen ⁡ x

Então vamos calcular essas derivadas parciais, e depois somar pra achar o divergente.

Passo 2

Primeiro, derivando P em função de x , considerando y e z constantes:

∂ P ∂ x = ∂ e x sen ⁡ y ∂ x = e x sen ⁡ y

Depois, derivamos Q em função de y , com x , z constante:

∂ Q ∂ y = ∂ e y sen ⁡ z ∂ y = e y sen ⁡ z

Por último, derivando R em função de z , tendo x e y constantes:

∂ R ∂ z = ∂ e z sen ⁡ x ∂ z = e z sen ⁡ x

Passo 3

Então, o divergente é:

div ⁡ F → = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z

div ⁡ F → = e x sen ⁡ y + e y sen ⁡ z + e z sen ⁡ x

Resposta

div ⁡ F → = e x sen ⁡ y + e y sen ⁡ z + e z sen ⁡ x

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