Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 2.6 - Ex. 55
Tendo os polinomios e , encontre:
Se o grau de é (a) menor que o de e (b) maior que o de .
Passo 1
Olá, meu amigo. Vou te ajudar a resolver essa atividade.
Aqui a gente vai calcular o limite
Onde e são polinômios, e iremos analisar o limite para quando e em duas situações, quando o grau de é maior e quando o grau de é maior.
Aqui é interessante pensar em qual polinômio vai crescer mais, e como isso irá afetar o comportamento do quociente.
Passo 2
Boa galera, vamos começar quando .
Então, nesse caso a gente tem um coeficiente onde os valores do denominador crescem mais rápido do que os valores do numerador. Mesmo que ambos crescem extremamente rápido, e sejam valores absurdos, ainda assim existem infinitos maiores que outros, então o que a gente tem é algo que pode ser equiparado ao limite a seguir:
Onde e são constantes, e dessa forma, quando tende ao infinite o limite vai tender a .
A lógica para quando tivermos é semelhante, porém agora nosso numerador irá crescer mais rápido que nosso denominador, e esse quociente poderá ser equiparado a:
E assim o limite tenderá a infinito, pois a influência do denominador será menor no valor do quociente: