Tendo os polinomios P e Q , encontre:

lim x → ∞ ⁡ P x Q x

Se o grau de P é (a) menor que o de Q e (b) maior que o de Q .

Passo 1

Olá, meu amigo. Vou te ajudar a resolver essa atividade.

Aqui a gente vai calcular o limite

lim x → ∞ ⁡ P x Q x

Onde P ( x ) e Q x são polinômios, e iremos analisar o limite para quando x → ∞ e em duas situações, quando o grau de P ( x ) é maior e quando o grau de Q ( x ) é maior.

Aqui é interessante pensar em qual polinômio vai crescer mais, e como isso irá afetar o comportamento do quociente.

Passo 2

Boa galera, vamos começar quando G r ( P ) < G r ( Q ) .

lim x → ∞ ⁡ P x Q x

Então, nesse caso a gente tem um coeficiente onde os valores do denominador crescem mais rápido do que os valores do numerador. Mesmo que ambos crescem extremamente rápido, e sejam valores absurdos, ainda assim existem infinitos maiores que outros, então o que a gente tem é algo que pode ser equiparado ao limite a seguir:

lim x → ∞ ⁡ a b x n

Onde a e b são constantes, e dessa forma, quando x tende ao infinite o limite vai tender a 0 .

G r ( P ) < G r ( Q ) → lim x → ∞ ⁡ P x Q x = 0

A lógica para quando tivermos G r Q < G r ( P ) é semelhante, porém agora nosso numerador irá crescer mais rápido que nosso denominador, e esse quociente poderá ser equiparado a:

lim x → ∞ ⁡ a x n b

E assim o limite tenderá a infinito, pois a influência do denominador será menor no valor do quociente:

G r ( P ) > G r ( Q ) → lim x → ∞ ⁡ P x Q x = ∞

Resposta

P < Q = 0

P > Q = ∞

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