Enunciado

Para f x = x ln ⁡ x encontre cada um dos seguintes limites:

(i) lim x → 0 + ⁡ f x

(ii)   lim x → 1 - ⁡ f x

(iii)   lim x → 1 + ⁡ f x

Passo 1

Bom galera, primeiro vamos começar observando o gráfico do logaritmo natural:

Assim a gente sabe alguns limites tipo:

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡   x = - ∞

lim x → 1 + ⁡ ln ⁡   x = 0 +

lim x → 1 - ⁡ ln ⁡   x = 0 -

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡   x = ∞

Passo 2

Beleza, agora a gente aplica no denominador de cada limite que temos que calcular:

(i) lim x → 0 + ⁡ x ln ⁡ x → lim x → 0 + ⁡ x - ∞

(ii)   lim x → 1 - ⁡ x ln ⁡ x → lim x → 1 - ⁡ x 0 -

(iii)   lim x → 1 + ⁡ x ln ⁡ x → lim x → 1 + ⁡ x 0 +

Passo 3

Agora, a gente já pode aplicar cada um dos limites, tendo cuidado com os sinais, bem assim:

(i) lim x → 0 + ⁡ x - ∞ = 0

(ii)   lim x → 1 - ⁡ x 0 - = - ∞

(iii)   lim x → 1 + ⁡ x 0 + = ∞

Resposta

(i) lim x → 0 + ⁡ f x = 0

(ii)   lim x → 1 - ⁡ f x = - ∞

(iii)   lim x → 1 + ⁡ f x = ∞

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