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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.5 - Ex. 28

Ache o limite

underset(x -> - oo)(lim) (sqrt(x^2 + 4))/(x + 4)

Passo 1

Esse é aquele limite que temos de polinômio sobre polinômio, com x indo para oo .

Pera, mas tem uma raiz? Não importa. Tem um polinômio dentro da Raiz? Então vamos usar a mesma ideia desse tipo de questão.

Para resolvê-los temos que colocar o termo de maior grau em evidência no numerador e depois a mesma coisa no denominador para simplificarmos e acharmos a resposta.

Vamos trabalhar só com a fração, depois colocamos no limite

(sqrt(x^2 + 4))/(x + 4)

Passo 2

O nosso numerador é

sqrt(x^2 + 4)

Colocando x^2 em evidência dentro da raiz, vamos ter

sqrt(x^2 (1 + (4)/(x^2)))

Podemos tirar aquele x^2 da raiz. Mas precisamos lembrar de uma coisa muuuuito importante.

Cuidado para não fazer sqrt(x^2) = x . Na verdade a raiz de x^2 vai ser |x| . Isso porque raiz quadrada deve ser sempre positiva.

sqrt(x^2) = |x|

Nosso numerador vai ficar

|x| sqrt((1 + (4)/(x^2)))

Passo 3

O nosso denominador vai ser

x + 4

Colocando x em evidência

x (1 + (4)/(x))

Passo 4

A nossa fração vai ficar

(sqrt(x^2 + 4))/(x + 4) = (|x| sqrt((1 + (4)/(x^2))))/(x (1 + (4)/(x)))

A parada agora é como tirar aquele módulo. Vamos olhar qual limite que ele pede. É para x -> - oo certo? Então ele quer valores negativos de x . Então temos que fazer

|x| = - x

Se fosse x -> oo deveríamos tomar

|x| = x

Beleza?

(|x| sqrt((1 + (4)/(x^2))))/(x (1 + (4)/(x))) = (- x sqrt((1 + (4)/(x^2))))/(x (1 + (4)/(x))) = - (sqrt((1 + (4)/(x^2))))/((1 + (4)/(x)))

Agora, vamos tomar o limite

underset(x -> - oo)(lim) (sqrt(x^2 + 4))/(x + 4) = underset(x -> - oo)(lim) - (sqrt((1 + (4)/(x^2))))/((1 + (4)/(x)))

Lembrando que o limite de um número sobre oo é sempre 0 , vamos ter

underset(x -> - oo)(lim) - (sqrt((1 + (4)/(x^2))))/((1 + (4)/(x))) = - (sqrt((1 + 0)))/((1 + 0)) = - (sqrt(1))/(1) = - 1

Resposta

- 1

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