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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.1 - Ex. 80

Convergência e divergência: Quais das sequências { a n } nos Exercícios 27-90 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.

80. a n = ( 3 n + 5 n ) 1 n

Passo 1

Oi, galera! Tudo belezinha? Massa! Então, vem comigo para mais uma questão!

Nessa questão, temos que calcular o limite da sequência. Se o limite existir, ela é convergente. Se você ficou confuso com essa questão, não tem problema. Nós vamos resolver de um jeito bem simples. Acompanha meu raciocínio: como a gente tem temos elevados a 1 n , então a melhor estratégia é usar o logaritmo:

l n a n = l n ( 3 n + 5 n ) 1 n = 1 n l n 3 n + 5 n

Quando n → ∞ , nós tem uma indeterminação do tipo ∞ ∞ . Então, precisamos da regra de L’Hôpital, que nós vamos usar no passo seguinte.

Passo 2

Aplicando a regra de L’Hôpital, nós ficamos com o seguinte limite

l i m n → ∞ l n a n = l i m n → ∞ l n 3 n   +   5 n n = l i m n → ∞ d d n l n 3 n   +   5 n d d n n

⇒ l i m n → ∞ l n a n = l i m n → ∞ 3 n   l n   3   +   5 n   l n   5 / 3 n   +   5 n 1 = l i m n → ∞ 3 n   l n   3   +   5 n   l n   5 3 n   +   5 n

onde a derivada de d d n l n 3 n   +   5 n é da seguinte forma:

d d n l n 3 n   +   5 n   =   1 3 n   +   5 n d d n ( 3 n   +   5 n )   = 1 3 n   +   5 n d d n ( e n l n ( 3 ) +   e n l n ( 5 ) )    

⇒ d d n l n 3 n   +   5 n   = 1 3 n   +   5 n ( e l n ( 3 ) n ⋅ l n ( 3 ) +   e l n ( 5 ) n ⋅ l n ( 5 ) )   = 3 n   l n   3   +   5 n   l n   5 3 n   +   5 n

Agora nós vamos dividir o numerador e o denominador por 5 n :

l i m n → ∞ l n a n = l i m n → ∞ 3 n   l n   3   +   5 n   l n   5 3 n   +   5 n ⋅ 1 / 5 n 1 / 5 n = l i m n → ∞ ( 3 / 5 ) n   l n   3   +     l n   5 ( 3 / 5 ) n   +   1

Passo 3

Pela fórmula 4 do Teorema 5, nós temos

l i m n → ∞ x n = 0 ,   | x | < 1

Esse é exatamente o caso de ( 3 / 5 ) n , ou seja,

l i m n → ∞ 3 5 n = 0

Agora ficou mais simples, não é mesmo. Nós ficamos com

l i m n → ∞ l n a n =     l n   5

Tomando a exponencial em ambos os lados, vemos que a sequência é convergente e que seu limite é

l i m n → ∞ e l n a n =     e l n   5

⇒ l i m n → ∞ a n =     5

E aí, o que você achou dessa questão? Responde aí!

Resposta

l i m n → ∞ a n =     5

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