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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 9.5 - Ex. 18

Resolva o problema de valor inicial:

x y^' + y = x ln x ; y (1) = 0

Passo 1

Galera, problema de valor inicial é igual equação diferencial normal, só usamos esse valor no final, ok? Bora lá então...

A gente tem que chegar em algo da forma:

y^' + P (x) y = Q ( x )

Beleza, vamos dividir tudo por x então...

y^' + (y)/(x) = ln x

Show! Vamos seguir...

Passo 2

A gente tem então o P (x) = (1)/(x) , ou seja, nosso fator integrante é:

e^(int ((1)/(x)) d x) = e^(ln x) = x

Aí a gente multiplica os dois lados da equação por essa expressão:

x y^' + (y)/(x) x = x ln x

x y^' + y = x ln x

O lance agora é integrar os dois lados!

Passo 3

Beleza, agora olha só:

x y^' + y

Isso é derivada de x y né? Então fica assim quando a gente integra os dois lados:

x y = int x ln x d x

x y = (x^2 ln x)/(2) - (x^2)/(4) + C

Isolamos o y :

y = ((x^2 ln x)/(2) - (x^2)/(4) + C)/(x)

y = (x ln x)/(2) - (x)/(4) + (C)/(x)

Passo 4

Show! Agora que entra a parte do valor inicial. A gente vai substituir y (1) = 0 pra achar o valor de C ...

y (1) = (1 ln 1)/(2) - (1)/(4) + (C)/(1)

0 = 0 - (1)/(4) + C

C = (1)/(4)

Isso aí! Então nosso problema de valor inicial é:

y = (x ln x)/(2) - (x)/(4) + (1)/(4 x)

Resposta

y = (x ln x)/(2) - (x)/(4) + (1)/(4 x)

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