Resolva o problema de valor inicial:

x \* y' + y = x \* ln(x); y(1) = 0

Passo 1

Galera, problema de valor inicial é igual equação diferencial normal, só usamos esse valor no final, ok? Bora lá então...

A gente tem que chegar em algo da forma:

y ' + P x y = Q ( x )

Beleza, vamos dividir tudo por x   então...

y ' + y x = ln ⁡ x

Show! Vamos seguir...

Passo 2

A gente tem então o P x = 1 x     , ou seja, nosso fator integrante é:

e ∫ 1 x d x = e ln ⁡ x = x

Aí a gente multiplica os dois lados da equação por essa expressão:

x y ' + y x   x = x ln ⁡ x

x y ' + y = x ln ⁡ x

O lance agora é integrar os dois lados!

Passo 3

Beleza, agora olha só:

x y ' + y

Isso é derivada de x y né? Então fica assim quando a gente integra os dois lados:

x y = ∫ x ln ⁡ x   d x

x y = x 2 ln ⁡ x 2 - x 2 4 + C

Isolamos o y :

y = x 2 ln ⁡ x 2 - x 2 4 + C x  

y = x ln ⁡ x 2 - x 4 + C x

Passo 4

Show! Agora que entra a parte do valor inicial. A gente vai substituir y 1 = 0 pra achar o valor de C ...

y 1 = 1 ln ⁡ 1 2 - 1 4 + C 1

0 = 0 - 1 4 + C

C = 1 4

Isso aí! Então nosso problema de valor inicial é:

y = x ln ⁡ x 2 - x 4 + 1 4 x  

Resposta

y = x ln ⁡ x 2 - x 4 + 1 4 x  

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