Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.7 - Ex. 17
Teste a convergência ou divergência da série:
Passo 1
Olá, pessoal! Tudo bem?
Neste exercício, vamos testar a convergência da série .
Vamos observar que a série tema forma , onde . Este formato sugere que é uma série alternada devido ao fator , que faz os termos da série alternarem entre positivos e negativos.
Para determinar a convergência de uma série alternada, podemos usar o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série é convergente se:
- for uma sequência positiva, ou seja,
- for decrescente.
- .
Passo 2
Vamos verificar cada uma dessas condições para .
Para , temos , portanto:
Agora, precisamos verificar se diminui conforme aumenta, ou seja, se é sempre decrescente para . Para isso, podemos analisar a expressão .
Note que conforme aumenta, diminui, o que faz com que também diminua. Portanto, é uma função decrescente para .
Passo 3
Agora, precisamos calcular o limite:
À medida que tende ao infinito, tende a , então:
A condição de que não é satisfeita porque:
Portanto, a série não é convergente pelo Teste da Série Alternada, pois um dos critérios não foi atendido.
Resposta
A série é divergente.