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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 13.1 - Ex. 3

Calcule os limites.

lim t → 0 + ⁡ cos ⁡ t ,   s e n   t ,   t ln ⁡ t

Passo 1

Eai galerinha. De boa?

O objetivo da questão é calcular o limite de uma função vetorial à medida que o parâmetro t se aproxima de um valor específico. Isso ajuda a entender o comportamento da função nas proximidades desse ponto.

Como podemos resolver esse limite?

  1. Podemos começar analisando as componentes
  2. Calcular os limites separadamente, para cada componentes.
  3. Finalizar combinando os resultados para um intervalo.

É isso! Vamos começar!

Passo 2

Galera, pra calcular o limite de uma função vetorial, podemos tomar individualmente o limite de cada uma das funções componentes. Então,

Para x

l i m t → 0 + cos ⁡ t = cos ⁡ 0 = 1

Para y

l i m t → 0 +   s e n   t = s e n   0 = 0

Para z

l i m t → 0 +   t ∙ ln ⁡ t → 0 ln ⁡ 0 → 0 ∙   ( - ∞ )

Passo 3

Como o terceiro limite tem uma indeterminação, vamos usar L’Hôpital:

Porque é necessário essa aplicação?

Lembre-se que A regra de L'Hôpital é uma técnica usada em cálculo para encontrar limites que resultam em formas indeterminadas como 0 0 ou ∞ ∞ . Quando nos deparamos com essas formas indeterminadas, a regra de L'Hôpital permite que tomemos as derivadas do numerador e do denominador para avaliar o limite.

Podemos reescrever

t ln ⁡ t = ln ⁡ t 1 t

isso nos dá uma forma indeterminada.

t → 0 + , ln ⁡ t   → - ∞ e 1 t → ∞ , resultando na forma - ∞ ∞

Então bora aplicar o L’Hôpital

l i m t → c f t g t = l i m t → c f ' t g ' t

Temos

f x = ln ⁡ t                         →                               f ' x = 1 t

g x = 1 t                                           →                             g ' x = - 1 t 2

Substituindo

l i m t → c f ' t g ' t = l i m t → 0 + 1 t - 1 t 2

l i m t → c f ' t g ' t = l i m t → 0 + - t 2 t

l i m t → c f ' t g ' t = l i m t → 0 + - t

l i m t → c f ' t g ' t = 0

Sendo assim

l i m t → 0 +   t ∙ ln ⁡ t = 0

Passo 4

Então, concluímos:

lim t → 0 + ⁡ cos ⁡ t ,   s e n   t ,   t ln ⁡ t = 1 ,   0 ,   0

Resposta

1 ,   0 ,   0

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Calcule os limites.underset(t - 0)(lim) 〈(e^t - 1)/(t) , (sqrt(1 + t) - 1)/(t) , (3)/(t + 1)〉
Determine o domínio das funções vetoriais.r (t) = 〈t^2 , sqrt(t - 1) , sqrt(5 - t)〉
Calcule os limites. lim t → 0⁡ e - 3 ti + t 2 s e n 2 tj + cos ⁡ 2 t k
Determine o domínio das funções vetoriais. r t = t - 2 t + 2i + s e ntj + ln ⁡ ( 9 - t 2 )k
Suponha que u e v sejam funções vetoriais que possuem limites quando t → a e seja c uma constante. Demonstre as seguintes propriedades de limites.(a) lim t → a ⁡ u t + v t = lim t → a ⁡ u t + lim t →