Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 13.1 - Ex. 3
Calcule os limites.
Passo 1
Eai galerinha. De boa?
O objetivo da questão é calcular o limite de uma função vetorial à medida que o parâmetro se aproxima de um valor específico. Isso ajuda a entender o comportamento da função nas proximidades desse ponto.
Como podemos resolver esse limite?
- Podemos começar analisando as componentes
- Calcular os limites separadamente, para cada componentes.
- Finalizar combinando os resultados para um intervalo.
É isso! Vamos começar!
Passo 2
Galera, pra calcular o limite de uma função vetorial, podemos tomar individualmente o limite de cada uma das funções componentes. Então,
Para
Para
Para
Passo 3
Como o terceiro limite tem uma indeterminação, vamos usar L’Hôpital:
Porque é necessário essa aplicação?
Lembre-se que A regra de L'Hôpital é uma técnica usada em cálculo para encontrar limites que resultam em formas indeterminadas como ou . Quando nos deparamos com essas formas indeterminadas, a regra de L'Hôpital permite que tomemos as derivadas do numerador e do denominador para avaliar o limite.
Podemos reescrever
isso nos dá uma forma indeterminada.
e , resultando na forma
Então bora aplicar o L’Hôpital
Temos
Substituindo
Sendo assim
Passo 4
Então, concluímos: