Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.7 - Ex. 16
Teste a convergência ou divergência da série:
Passo 1
Olá pessoal, tudo bem?
Nesse exercício vamos analisar a convergência da série .
Olha que beleza! Vamos começar logo no primeiro passo com uma dica!
Dica: sempre que nos depararmos com um termo de uma série qualquer que é uma fração de termos algébricos em , procuraremos usar o “Teste de Comparação no Limite” que é uma ferramenta útil quando queremos comparar nossa série com outra série que já conhecemos o comportamento.
- Se nossa série é menor que a série convergente, ela também é convergente.
- Se ela é maior que uma série divergente, ela também é divergente.
No nosso caso, nosso termo .
Outro macete aqui é buscar o termo algébrico de maior grau no numerador e no denominador. Para o numerador, temos o termo ; já para o denominador, temos o . Vamos chamar esses termos de e respectivamente? É rapidinho, eu prometo 
Agora, pensando numa série do tipo , vamos escolher o termo como sendo:
Passo 2
Show de bola! Como sabemos que a série é uma série divergente (a nossa famosíssima série harmônica), vamos usar o “Teste de Comparação no Limite”.
Por esse teste, vamos fazer a seguinte comparação de termos:
Organizando os termos, teremos:
Como e , podemos aplicar L’Hopital
Passo 3
Como o limite calculado é um número finito e maior do que 0, chegamos à conclusão de que, uma vez que a série é divergente, a nossa série também é divergente!
Resposta
A série é divergente.