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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.6 - Ex. 56

Determine a área da superfície de equação vetorial

r u ,   v = cos 3 ⁡ u cos 3 ⁡ v   ,       s e n 3   u cos 3 ⁡ v   ,       s e n 3   v   ,           0 ≤ u ≤ π   ,       0 ≤ v ≤ 2 π

Dê sua resposta com precisão de quatro casas decimais.

Passo 1

Fala, pessoal! Tudo belezinha?? 😊

Nessa questão, precisamos calcular com precisão de quatro casas decimais a área de superfície definida por essa equação vetorial aqui:

r u ,   v = cos 3 ⁡ u cos 3 ⁡ v   ,       s e n 3   u cos 3 ⁡ v   ,       s e n 3   v

Com as parametrizações limitadas em

0 ≤ u ≤ π   ,       0 ≤ v ≤ 2 π

A gente vai encontrar nossa resposta através dessa fórmula aqui:

A S = ∫ ∫ D r u × r v   d A

O que significa r u e r v ? São as derivadas parciais da equação vetorial dada no enunciado em relação a u e depois em relação a v .

Primeiro, vamos calcular as derivadas e depois, o produto vetorial daquela fórmula acima.

Passo 2

Seja

r u ,   v = cos 3 ⁡ u cos 3 ⁡ v   ,       s e n 3   u cos 3 ⁡ v   ,       s e n 3   v

Suas derivadas serão:

r u = - 3 cos 2 ⁡ u   s e n   u cos 3 ⁡ v   ,       3   s e n 2 u cos ⁡ u cos 3 ⁡ v   ,       0

r v = - 3 cos 3 ⁡ u cos 2 ⁡ v s e n   v   ,       - 3   s e n 3   u cos 2 ⁡ v s e n   v   ,       3   s e n 2   v cos ⁡ v

Show! Agora podemos calcular o seguinte produto vetorial:

r u × r v = i j k - 3 cos 2 ⁡ u   s e n   u cos 3 ⁡ v 3   s e n 2 u cos ⁡ u cos 3 ⁡ v 0 - 3 cos 3 ⁡ u cos 2 ⁡ v s e n   v - 3   s e n 3   u cos 2 ⁡ v s e n   v 3   s e n 2   v cos ⁡ v

Podemos resolver de muitas técnicas, principalmente pelo método de Sarrus, com a multiplicação entre as diagonais e subtraindo entre as diagonais principais e secundárias. Assim, o resultado será:

( 9 cos ⁡ u s e n 2   u cos 4 ⁡ v s e n 2   v   ,       9 cos 2 ⁡ u s e n   u cos 4 ⁡ v s e n 2   v   ,       9 cos 2 ⁡ u s e n 2   u cos 5 ⁡ v s e n   v )

Mas como está na fórmula, precisamos do seu módulo! Então elevando todos os termos ao quadrado e somando dentro da raiz, teremos:

r u × r v

= 9 cos 2 ⁡ u s e n 4   u cos 8 ⁡ v s e n 4   v + cos 4 ⁡ u s e n 2   u cos 8 ⁡ v s e n 4   v + cos 4 ⁡ u s e n 4   u cos 10 ⁡ v s e n 2   v

= 9 cos 2 ⁡ u s e n 2   u cos 8 ⁡ v s e n 2   v   s e n 2   v + cos 2 ⁡ u s e n 2   u cos 2 ⁡ v

= 9 cos 4 ⁡ v cos ⁡ u s e n   u   s e n   v s e n 2   v + cos 2 ⁡ u s e n 2   u cos 2 ⁡ v

Passo 3

Então, podemos escrever a integral que dá a área da superfície assim, com

d A = d v d u

E os limites de integração dados por

0 ≤ u ≤ π   ,       0 ≤ v ≤ 2 π

Então...

A S = ∫ 0 π ∫ 0 2 π 9 cos 4 ⁡ v cos ⁡ u s e n   u   s e n   v s e n 2   v + cos 2 ⁡ u s e n 2   u cos 2 ⁡ v d v d u

Utilizando um CAS, ou seja, por meio de um programa computacional para calcular essa integral, nós obtemos:

A S ≈ 4,4506

Resposta

A S ≈ 4,4506

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11 . Calcule a área da superfície z = x 2 + y 2 compreendida entre os planos x + y = 1,x + y = 2,x = 0ey = 0
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