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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.5 - Ex. 13

Teste a série quanto a convergência ou divergência.

∑ n = 2 ∞ - 1 n n ln ⁡ n

Passo 1

A série alternada da forma

a n = - 1 n b n

Ou

a n = - 1 n + 1 b n

Onde b n ≥ 0 .

Converge se obedecer o teste da série alternada que tem duas condições

  1. b n + 1 < b n para todo n
  2. lim n → ∞ ⁡ b n = 0

Passo 2

Agora vamos ver se a série obedece as regras do teste da série alternada.

b n = n ln ⁡ n

Esse termo não parece obedecer b n → 0 , então vamos calcular o limite

lim n → ∞ ⁡ b n = lim n → ∞ ⁡ n ln ⁡ n

Aplicando L’Hopital

lim n → ∞ ⁡ n ln ⁡ n = lim n → ∞ ⁡ 1 1 / n = lim n → ∞ ⁡ n = ∞

Como lim n → ∞ ⁡ b n ≠ 0 , essa série desobedece a segunda regra do termo geral, portanto ela diverge.

Resposta

Diverge.

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