Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.5 - Ex. 20
Teste a série quanto a convergência ou divergência.
Passo 1
E aí, galera? Suave?
É uma série alternada, então pra provar a convergência vamos usar o Teste da Série Alternada, onde a gente precisa de ver duas coisinhas:
- para todo (em resumo, quer dizer que precisa ser decrescente).
Se essas duas (ou uma das duas) não derem certo, ela diverge.
Passo 2
Vamos ver a primeira condição então.
Nesse caso aí:
Beleza, pra ficar mais fácil fazer a comparação, a gente vai modificar um pouquinho... Vamos multiplicar o numerador e o denominador por pois isso vai possibilitar que a gente aplique uma propriedade de fatoração da diferença de dois quadrados:
Usando a propriedade:
Reescrevemos:
Agora melhorou... Vamos calcular :
Se nossa sequência for decrescente, temos a inequação
Como a gente sabe que a série começa em , não vamos ter números entre aí.
Olha, nas duas a gente tem o 1 dividindo uma expressão. Se a gente aumentar o valor da expressão do denominador, o valor de vai diminuir.
Ou seja, . A desigualdade ali é verdadeira. Primeiro item provado.
Passo 3
Bora ver o segundo item então...
Vamos pegar a mesma expressão pra do passo anterior?? Fica mais fácil, olha:
Então também tá ok, e a série converge.
Resposta
Converge.