Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.5 - Ex. 8
Teste a série quanto a convergência ou divergência.
Passo 1
Vamos lá galerinha, vamos investigar a série:
Quanto a convergência ou divergência, para isso eu preciso prestar bastante atenção na série e em seus elementos, pois preciso escolher um método de teste de convergência. Qual o melhor método de teste para ser aplicado nessa série?
Lembre-se que há um elemento que torna cada termo da série com um sinal diferente, veja, para ímpar teremos um termo negativo, para par teremos um termo positivo. Sempre que isso ocorrer, faz sentido pensarmos no método do teste de séries alternadas.
Esse teste funciona dessa forma:
Uma série alternada será coloca em módulo, criando assim uma série que contém apenas os termos em seus valores absolutos. Com isso iremos testar se a série é decrescente e seu limite é , com . Se ambas as situações conferirem, então pode-se dizer que a série certamente converge.
Passo 2
Vamos olhar a nossa questão! Temos a seguinte série:
Sendo apenas os valores absolutos da série então podemos considerar que
Vamos verificar se as condições de convergência são atendidas.
Não é óbvio que seja decrescente, principalmente por conta do no numerador. No entanto, se considerarmos a função relacionada:
Vamos nos recordar que é possível encontrar o intervalo que uma função cresce ou decresce através de sua derivada. Por isso vamos encontrar , igualar a zero e descobrir em quais regiões a série cresce ou decresce.
Então
Temos duas possibilidades:
E
Ou seja, esses são os máximos e mínimos da nossa função. Se substituirmos os valores de x encontrado perceberemos que:
O que nos indica que essa função somente é decrescente quando
Mas estamos interessados apenas para os valores de . Ou seja, a primeira condição não se aplica, e essa série é divergente.
Passo 3
A gente já nem precisava mais fazer isso, mas vamos ver como fica o limite!
Dividindo o numerador e o denominador por temos:
Logo, a segunda condição também não foi satisfeita. Assim, como as condições não foram atendidas, a série diverge!
Resposta
A série diverge!