Enunciado

Teste a série quanto a sua convergência ou divergência.

4.

∑ n = 1 ∞ - 1 n n 2 - 1 n 2 + 1  

Passo 1

E aí, tudo certinho, gente?

O enunciado quer que olhemos a série para classificá-la em divergente ou convergente, de acordo com o melhor método possível.

A principal estratégia para resolver esse tipo de questão sem perda de tempo e esforço é classificando a série de acordo com a sua forma.

A série do enunciado possui forma

∑ - 1 n b n

Ou seja, característica de uma série alternada.

Onde b n seria: b n = n 2 - 1 n 2 + 1

No Teste da Série Alternada, vamos relembrar que para a série venha a convergir, precisamos ter as seguintes condições:

( i ) lim n → ∞ ⁡ b n = 0

i i   b n ≥ b n + 1

Passo 2

Vamos testar o passo ( i ) :

lim n → ∞ ⁡ b n

lim n → ∞ ⁡ n 2 - 1 n 2 + 1

Se substituirmos na expressão acima:

lim n → ∞ ⁡ n 2 - 1 n 2 + 1 = ∞ 2 - 1 ∞ 2 + 1 = ∞ ∞

Ou seja, indeterminado. Por isso tentaremos mudar essa expressão.

Colocando n 2 em evidência na expressão, e depois o eliminando tanto do numerador quanto do denominador:

lim n → ∞ ⁡ n 2 ( 1 - 1 n 2 ) n 2 ( 1 + 1 n 2 )

lim n → ∞ ⁡ n 2 ( 1 - 1 n 2 ) n 2 ( 1 + 1 n 2 )

lim n → ∞ ⁡ ( 1 - 1 n 2 ) ( 1 + 1 n 2 )

Substituindo em n 2 , saiba que 1 ∞ tende a zero, portanto:

1 - 0 1 + 0 = 1

Ou seja, o lim n → ∞ ⁡ b n ≠ 0 , portanto a série é divergente!

Passo 3

Analisando a condição i i

O valor de b n é

b n = n 2 - 1 n 2 + 1

Logo,

  b n ≥ b n + 1

n 2 - 1 n 2 + 1 ≥ ( n + 1 ) 2 - 1 ( n + 1 ) 2 + 1

Para verificar se esta relação é verdadeira, vamos supor o valor de n = 2 .

2 2 - 1 2 2 + 1 ≥ 2 + 1 2 - 1 2 + 1 2 + 1

3 5   ≥   8 10

0,6   ≥ 0,8

Isso não está correto, portanto é divergente!

Resposta

Divergente.

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