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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.10 - Ex. 56

Calcule a integral indefinida como uma série infinita.

∫ arctg ⁡ x 2 d x

Passo 1

Olá pessoal, tudo bem?

Vamos resolver esse exercício juntos!

Observe que estamos lidando com uma integral do tipo ∫ arctg ⁡ x 2 d x . Vamos a série infinita para arctg ⁡ x da Tabela 1 para solucionarmos esse problema.

Com o auxílio da Tabela 1, temos que:

arctg ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1

Passo 2

Dessa forma, para encontrar a série infinita para arctg ⁡ x 2 , substituímos x por x 2 na série para arctg ⁡ x . Isso nos leva a:

arctg ⁡ x 2 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 2 n + 1 2 n + 1

Agora, para simplificar a expressão, elevamos x 2 a potência 2 n + 1 , o que resulta em x 4 n + 2 . Isso nos leva à série:

∑ n = 0 ∞ - 1 n x 4 n + 2 2 n + 1

Passo 3

Agora, podemos integrar termo a termo. Embora a expressão resultante possa parecer intimidante devido ao seu tamanho, é importante notar que estamos simplesmente integrando um polinômio. Portanto, não se assuste com a extensão da expressão. Vamos resolver isso passo a passo:

Para integrar cada termo da série, basta aplicar a regra de integração para polinômios:

∫ x 4 n + 2   d x = x 4 n + 3 ( 4 n + 3 ) + C

onde C é uma constante de integração.

Portanto, a integral termo a termo da série é dada por:

∫ arctg ⁡ x 2 d x = C + ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 4 n + 3 ( 2 n + 1 ) 4 n + 3

Resposta

∫ arctg ⁡ x 2 d x = C + ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 4 n + 3 ( 2 n + 1 ) 4 n + 3

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