Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.6 - Ex. 24
Use o Teste da Razão para determinar se a série é convergente ou divergente.
24.
Passo 1
E aí galera, tudo bem?
Para resolver essa parada, vamos utilizar o Teste da Razão para analisar a convergência da série.
O teste da Razão é uma técnica que nos ajuda a determinar a convergência de uma série infinita. Ele nos diz que:
- Se , então a série converge.
- Se , então a série diverge.
Para começar, precisamos definir o termo , que representa o próximo termo da sequência. Então, temos:
Agora, vamos aplicar o Teste da Razão:
Usando a sequência da série que escrevemos, vamos ficar com o seguinte limite:
Passo 2
Invertendo o denominador e multiplicando pelo numerador:
Simplificando os termos iguais:
E como todos os termos são positivos, se tirarmos do módulo fica a mesma coisa:
Passo 3
Se aplicarmos o limite agora, cairemos em uma determinação , vamos abrir o uma vez para simplificarmos:
Como ainda temos a mesma indeterminação, vamos colocar em evidência no numerador e no denominador:
Simplificando:
Passo 4
Agora sim podemos aplicar o limite, os termos com no denominador tendem para zero, sobrando só:
Como , a série é convergente.